1) Как найти двадцать третий член арифметической прогрессии (ап), если первый член (а1) равен -15 и разность (d) равна

Vihr_9737

8

Добро пожаловать в урок по арифметической прогрессии! Давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Для нахождения \(a_{23}\) в арифметической прогрессии (АП) с известным первым членом \(a_1\) и разностью \(d\), мы можем использовать формулу:

\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

где \(a_n\) - значение \(n\)-го члена прогрессии.

Для данной задачи у нас есть \(a_1 = -15\) и разность \(d = 3\). Найдем \(a_{23}\), подставив значения в формулу:

\[a_{23} = -15 + (23-1) \cdot 3\]

Распарсим:

\[a_{23} = -15 + 22 \cdot 3\]

\[a_{23} = -15 + 66\]

Вычислим:

\[a_{23} = 51\]

Таким образом, двадцать третий член арифметической прогрессии равен 51.

2) В этой задаче даны первые три члена прогрессии: \(a_1 = -9\), \(a_2 = -6\) и \(a_3 = 3\). Мы должны найти \(a_{26}\).

Для нахождения \(a_{26}\) воспользуемся формулой:

\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

Мы можем использовать информацию о первых трех членах, чтобы найти разность \(d\):

\[a_2 - a_1 = -6 - (-9) = 3\]
\[a_3 - a_2 = 3 - (-6) = 9\]

Таким образом, разность \(d\) равна 9. Теперь мы можем использовать формулу для нахождения \(a_{26}\):

\[a_{26} = -9 + (26-1) \cdot 9\]

\[a_{26} = -9 + 25 \cdot 9\]

\[a_{26} = -9 + 225\]

Вычислим:

\[a_{26} = 216\]

Таким образом, двадцать шестой член арифметической прогрессии равен 216.

3) Для нахождения суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии с известным первым членом \(a_1\), разностью \(d\) и количеством членов \(n\), мы можем использовать формулу:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов.

В нашем случае, у нас есть \(a_1 = 8\), \(d = 4\) и \(n = 16\). Подставим значения в формулу:

\[S_{16} = \frac{16}{2}(2 \cdot 8 + (16-1) \cdot 4)\]

\[S_{16} = 8(16 + 15 \cdot 4)\]

\[S_{16} = 8(16 + 60)\]

\[S_{16} = 8(76)\]

Вычислим:

\[S_{16} = 608\]

Таким образом, сумма первых шестнадцати членов арифметической прогрессии равна 608.

4) В этой задаче мы имеем последовательность \(b_n\) с формулой \(b_n = 3n - 1\). Нам нужно найти сумму первых шестидесяти членов этой последовательности.

Для нахождения такой суммы, мы можем использовать формулу:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Так как у нас дана формула для \(b_n\) и диапазон значений \(n\) от 1 до 60, мы можем заменить \(b_n\) в формуле:

\[S_{60} = \frac{60}{2}(b_1 + b_{60})\]

Заменим \(b_1\) и \(b_{60}\) на соответствующие значения из формулы \(b_n\):

\[S_{60} = \frac{60}{2}((3 \cdot 1 - 1) + (3 \cdot 60 - 1))\]

\[S_{60} = \frac{60}{2}(2 + 179)\]

\[S_{60} = \frac{60}{2}(181)\]

Вычислим:

\[S_{60} = 5430\]

Таким образом, сумма первых шестидесяти членов последовательности равна 5430.

5) В этой задаче нам даны пятый (\(a_5 = 16\)) и девятый (\(a_9 = 28\)) члены арифметической прогрессии \(a_n\). Мы должны найти первый член \(a_1\) и разность \(d\).

Для этого мы можем воспользоваться системой уравнений.

Используем формулу для \(a_n\):

\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

Для \(n = 5\) у нас есть:

\[16 = a_1 + (5-1) \cdot d\]

\[16 = a_1 + 4d\]

Аналогично, для \(n = 9\) у нас есть:

\[28 = a_1 + (9-1) \cdot d\]

\[28 = a_1 + 8d\]

У нас получилась система уравнений. Решим ее.

\[16 = a_1 + 4d\]

\[28 = a_1 + 8d\]

Вычтем второе уравнение из первого:

\[16 - 28 = (a_1 + 4d) - (a_1 + 8d)\]

\[-12 = -4d\]

Разделим обе части на -4:

\[d = 3\]

Теперь подставим это значение \(d\) в любое уравнение для нахождения \(a_1\), например:

\[16 = a_1 + 4 \cdot 3\]

\[16 = a_1 + 12\]

Вычтем 12 из обеих частей уравнения:

\[16 - 12 = a_1 + 12 - 12\]

\[4 = a_1\]

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 4, а разность равна 3.

Это были решения всех задач. Я надеюсь, что объяснения и пошаговые решения были понятны для вас!