1. Какие координаты имеет четвертая вершина параллелограмма, если известны координаты трех вершин: а(-6; -4), b(-4

Morskoy_Korabl

34

Решение:

1. Чтобы найти координаты четвертой вершины параллелограмма, нам нужно использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам и пересекаются в их точке пересечения. Так как вершины a и c являются противоположными, это означает, что их соединяющая диагональ будет проходить через центр параллелограмма и делиться пополам.

Для нахождения координат точки пересечения диагоналей, мы можем использовать формулу нахождения средней точки между двумя точками. Давайте применим формулу для середины отрезка, соединяющего вершины a и c:

\(x = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\), \(y = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\)

Где \((x_1, y_1)\) - координаты вершины a, а \((x_2, y_2)\) - координаты вершины c.

Подставляя значения, получаем:

\(x = \frac{{-6 + 1}}{2} = -\frac{5}{2}\), \(y = \frac{{-4 + 5}}{2} = \frac{1}{2}\)

Таким образом, координаты четвертой вершины параллелограмма равны \((-5/2, 1/2)\).

Чтобы найти уравнения диагоналей параллелограмма, давайте проведем прямые через точку пересечения диагоналей (точку \((-5/2, 1/2)\)) и вершины параллелограмма.

Диагональ, соединяющая вершины a и c, имеет уравнение вида:

\[y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)\]

Подставляя значения, получаем:

\[y - (-4) = \frac{{5 - (-4)}}{{1 - (-6)}}(x - (-6))\]

\[y + 4 = \frac{9}{7}(x + 6)\]

\[7(y + 4) = 9(x + 6)\]

\[7y + 28 = 9x + 54\]

\[9x - 7y = -26\]

Аналогично, другая диагональ будет иметь уравнение:

\[y - y_2 = \frac{{y_1 - y_2}}{{x_1 - x_2}}(x - x_2)\]

Подставляя значения, получаем:

\[y - 8 = \frac{{-4 - 8}}{{-6 - 1}}(x - 1)\]

\[y - 8 = \frac{{-12}}{{-7}}(x - 1)\]

\[y - 8 = \frac{{12}}{{7}}(x - 1)\]

\[7(y - 8) = 12(x - 1)\]

\[7y - 56 = 12x - 12\]

\[12x - 7y = 44\]

Итак, уравнения диагоналей параллелограмма:

\[9x - 7y = -26\]

\[12x - 7y = 44\]

2. Чтобы прямые AM и BM были перпендикулярными, их коэффициенты наклона должны быть взаимно обратными и противоположными.

Коэффициент наклона прямой AM можно найти по формуле:

\[m_{AM} = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

Где \((x_1, y_1)\) - координаты точки A, а \((x_2, y_2)\) - координаты точки M.

Аналогичным образом, коэффициент наклона прямой BM можно найти по формуле:

\[m_{BM} = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

Где \((x_1, y_1)\) - координаты точки B, а \((x_2, y_2)\) - координаты точки M.

Так как прямые AM и BM перпендикулярны, коэффициенты их наклонов должны удовлетворять следующему условию:

\[m_{AM} \cdot m_{BM} = -1\]

Давайте найдем коэффициент наклона прямой AM:

\[m_{AM} = \frac{{1 - y}}{{-3 - x}}\]

А коэффициент наклона прямой BM:

\[m_{BM} = \frac{{-7 - y}}{{3 - x}}\]

Теперь подставим найденные формулы в условие перпендикулярности:

\[\left(\frac{{1 - y}}{{-3 - x}}\right) \cdot \left(\frac{{-7 - y}}{{3 - x}}\right) = -1\]

Упростим это уравнение:

\[(1 - y)(-7 - y) = (-3 - x)(3 - x)\]

\[-7 - y + 7y + y^2 = -9 + 3x + 3x - x^2\]

\[y^2 - 6y - 7 = -10x + 6x - x^2\]

\[x^2 - 16x + y^2 - 6y - 7 = 0\]

Таким образом, уравнение прямой AM и BM будет иметь вид:

\[x^2 - 16x + y^2 - 6y - 7 = 0\]

3. Чтобы найти точку на оси ординат, удаленную одинаково от начала координат и от прямой, заданной уравнением \(3x - 4y + 12 = 0\), мы можем использовать свойство перпендикулярности между прямыми, параллельными осям координат.

Учитывая, что искомая точка находится на оси ординат, ее координаты будут иметь вид \((0, y)\).

Перпендикулярные прямые имеют наклоны, у которых произведение равно -1. Коэффициент наклона прямой \(3x - 4y + 12 = 0\) равен \(\frac{3}{4}\), следовательно, коэффициент наклона перпендикулярной прямой будет равен \(-\frac{4}{3}\).

Теперь у нас есть уравнение прямой, проходящей через точку \((0, y)\) и имеющее коэффициент наклона \(-\frac{4}{3}\):

\(\frac{y - y_1}{x - x_1} = -\frac{4}{3}\)

Подставляя значения \((x_1, y_1) = (0, 0)\) и упрощая уравнение, получаем:

\(\frac{y - 0}{x - 0} = -\frac{4}{3}\)

\(\frac{y}{x} = -\frac{4}{3}\)

Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид:

\(\frac{y}{x} = -\frac{4}{3}\)

4. Чтобы найти значения параметров \(m\) и \(t\), при которых плоскости \(3x + my + 2z - 7 = 0\) и \(-4y - 4z + 3 = 0\) будут параллельными, мы можем использовать свойство параллельных плоскостей, которое заключается в том, что нормальные векторы этих плоскостей должны быть коллинеарными.

Начнем с нахождения нормального вектора для каждой плоскости. Вектор нормали к плоскости \(3x + my + 2z - 7 = 0\) будет иметь координаты \((3, m, 2)\), а вектор нормали к плоскости \(-4y - 4z + 3 = 0\) будет иметь координаты \((0, -4, -4)\).

Нормальные векторы этих плоскостей должны быть коллинеарными, то есть пропорциональными друг другу. Мы можем записать это в виде следующего уравнения:

\(\frac{{3}}{{0}} = \frac{{m}}{{-4}} = \frac{{2}}{{-4}}\)

Из первого и последнего равенства получаем:

\(\frac{{m}}{{-4}} = \frac{{2}}{{-4}}\)

\(m = 2\)

Таким образом, значение параметра \(m\) равно 2.

Теперь мы можем найти значение параметра \(t\) из уравнения плоскости \(3x + my + 2z - 7 = 0\). Подставим найденное значение \(m = 2\) в уравнение и решим его для \(t\):

\(3x + 2y + 2z - 7 = 0\)

\(3x + 2y + 2z = 7\)

\(t = 7\)

Итак, значения параметров \(m\) и \(t\) такие, что плоскости \(3x + my + 2z - 7 = 0\) и \(-4y - 4z + 3 = 0\) будут параллельными, равны \(m = 2\) и \(t = 7\).