1. Какое напряжение будет на конденсаторе в резонансе в электрической цепи с параметрами: U = 100 В, R = 10 Ом, XL

Raduzhnyy_Mir

67

1. Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу для резонансной частоты в электрической цепи:

\[
f = \frac{1}{{2\pi\sqrt{{LC}}}}
\]

где \(f\) - частота, \(L\) - индуктивность и \(C\) - емкость.

Но прежде чем продолжить, давайте рассчитаем значение индуктивности \(L\) и емкости \(C\) для данной цепи. У нас дано напряжение \(U = 100 \, \text{В}\), сопротивление \(R = 10 \, \Omega\), и реактивное сопротивление индуктивности \(XL = 20 \, \Omega\).

Реактивное сопротивление индуктивности можно рассчитать с помощью формулы:

\[
XL = 2\pi fL
\]

где \(f\) - частота и \(L\) - индуктивность.

Таким образом, мы можем решить эту формулу относительно \(L\):

\[
L = \frac{XL}{{2\pi f}}
\]

Подставляя значения \(XL = 20 \, \Omega\) и \(f = f_{\text{рез}}\) (резонансная частота), получим:

\[
L = \frac{20}{{2\pi f_{\text{рез}}}}
\]

Зная, что реактивное сопротивление конденсатора \(XC\) в резонансе равно реактивному сопротивлению индуктивности \(XL\) и имеет противоположный знак, мы можем рассчитать значение ёмкости \(C\) по формуле:

\[
XC = \frac{1}{{2\pi fC}}
\]

Мы знаем, что \(XC = -XL\), поэтому:

\[
\frac{1}{{2\pi fC}} = -XL
\]

Решая данное уравнение относительно \(C\), получим:

\[
C = -\frac{1}{{2\pi f_{\text{рез}} XL}}
\]

Теперь, когда мы знаем значения \(L\) и \(C\), можем рассчитать резонансную частоту \(f_{\text{рез}}\) следующим образом:

\[
f_{\text{рез}} = \frac{1}{{2\pi\sqrt{{LC}}}}
\]

Подставляя соответствующие значения \(L\) и \(C\), рассчитанные выше, получим:

\[
f_{\text{рез}} = \frac{1}{{2\pi\sqrt{{\frac{20}{{2\pi f_{\text{рез}}}} \cdot -\frac{1}{{2\pi f_{\text{рез}} XL}}}}}}
\]

Упрощая данное уравнение, получим:

\[
f_{\text{рез}} = \frac{1}{{2\pi\sqrt{{-\frac{{20}}{{(2\pi)^2 f_{\text{рез}}^2 XL}}}}}}
\]

Дальнейшие шаги по решению являются сложными математическими операциями. Однако, я могу помочь вам найти точное значение резонансной частоты, используя численные методы или приближенные методы решения уравнений, если вы предоставите предпочтительный подход для решения.

2. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Ома для альтернативного тока. Формула для этого закона:

\[
I = \frac{U}{{Z}}
\]

где \(I\) - ток, \(U\) - напряжение, а \(Z\) - импеданс.

Импеданс \(Z\) в данной электрической цепи может быть рассчитан как сумма реактивного сопротивления индуктивности \(XL\) и реактивного сопротивления конденсатора \(XC\):

\[
Z = \sqrt{{R^2 + (XL - XC)^2}}
\]

Подставляя известные значения \(U = 200 \, \text{В}\), \(R = 100 \, \Omega\), \(XL = XC = 20 \, \Omega\) в формулу для импеданса, мы можем рассчитать его значение:

\[
Z = \sqrt{{100^2 + (20 - 20)^2}} = 100 \, \Omega
\]

Теперь мы можем рассчитать ток с использованием закона Ома:

\[
I = \frac{U}{{Z}} = \frac{200}{100} = 2 \, \text{А}
\]

Таким образом, ток в данной электрической цепи составляет \(2 \, \text{А}\).

3. Чтобы рассчитать новую частоту \(f_{\text{рез}}\), при которой в цепи возникнет резонанс, мы должны учесть, что сопротивление \(XL\) в четыре раза меньше, чем \(XC\).

Реактивное сопротивление индуктивности \(XL\) можно рассчитать с помощью формулы:

\[
XL = 2\pi f_{\text{рез}} L
\]

Реактивное сопротивление конденсатора \(XC\) можно рассчитать с помощью формулы:

\[
XC = \frac{1}{{2\pi f_{\text{рез}} C}}
\]

Так как \(XL\) в четыре раза меньше \(XC\), мы можем записать уравнение:

\[
XL = \frac{1}{{2\pi f_{\text{рез}} C}} \cdot \frac{1}{4}
\]

Подставляя значения \(L\) и \(C\) из задачи, получим:

\[
2\pi f_{\text{рез}} L = \frac{1}{{8\pi f_{\text{рез}} C}}
\]

Упрощая данное уравнение, получим:

\[
L = \frac{1}{{8C}}
\]

Теперь мы можем рассчитать новую частоту \(f_{\text{рез}}\) путем подстановки значений \(L\) и \(C\) в формулу для резонансной частоты:

\[
f_{\text{рез}} = \frac{1}{{2\pi\sqrt{{LC}}}} = \frac{1}{{2\pi\sqrt{{\frac{1}{{8C}}} \cdot C}}}
\]

Упрощая данное уравнение, получим:

\[
f_{\text{рез}} = \frac{1}{{\pi\sqrt{{2C}}}}
\]

Таким образом, чтобы в цепи возник резонанс, необходимо изменить частоту напряжения питания на \(\frac{1}{{\pi\sqrt{{2C}}}}\) Гц.