1. Какова ширина кольца, сформированного двумя концентрическими окружностями с одним центром, если хорда большей

Lebed

67

1. Ширина кольца можно найти, используя формулу для длины хорды окружности. Давайте обозначим радиусы большей и меньшей окружностей соответственно как \(r_1\) и \(r_2\), а ширину кольца как \(d\).

Длина хорды окружности связана с радиусом и углом, под которым она опирается на центральный угол. В данном случае, поскольку хорда касается меньшей окружности, она опирается на центральный угол \(180^\circ\).

Мы знаем, что длина хорды равна 8, значит у нас имеется следующее уравнение:

\[2r_2\sin\left(\frac{180^\circ}{2}\right) = 8\]

Упростим его:

\[2r_2\sin(90^\circ) = 8\]

Поскольку \(\sin(90^\circ) = 1\), мы получаем:

\[2r_2 = 8\]
\[r_2 = 4\]

Теперь найдем радиус большей окружности, используя длину хорды:

\[2r_1\sin\left(\frac{180^\circ}{2}\right) = 8\]

Упростим его:

\[2r_1\sin(90^\circ) = 8\]

Поскольку \(\sin(90^\circ) = 1\), мы получаем:

\[2r_1 = 8\]
\[r_1 = 4\]

И, наконец, ширина кольца:

\[d = r_1 - r_2 = 4 - 4 = 0\]

Ответ: ширина кольца (расстояние между двумя концентрическими окружностями) равна 0.

2. Для нахождения пути, пройденного концом минутной и часовой стрелки за сутки, мы должны знать сколько оборотов они делают их около центра часового циферблата.

Поскольку длина минутной стрелки составляет 4,13 м, а длина часовой стрелки - 3,70 м, мы получаем:

Путь, пройденный концом минутной стрелки за сутки, равен длине минутной стрелки, то есть 4,13 м.

Путь, пройденный концом часовой стрелки за сутки, будет зависеть от количества оборотов, которое она делает за это время. Время от одного полудня до другого составляет 12 часов, а часовая стрелка делает один оборот за 12 часов. Таким образом, конец часовой стрелки вращается с постоянной скоростью.

Теперь мы можем найти количество оборотов и, следовательно, путь, пройденный концом часовой стрелки. Для этого мы используем пропорцию:

\[\frac{\text{Путь, пройденный концом часовой стрелки за сутки}}{\text{Количество оборотов}} = \frac{3,70 \, \text{м}}{12 \, \text{часов}}\]

Затем мы умножаем количество оборотов на путь, полученный из пропорции:

\[\text{Путь, пройденный концом часовой стрелки за сутки} = \frac{3,70 \, \text{м}}{12 \, \text{часов}} \times 24 \, \text{часа}\]

Решая это уравнение, мы найдем путь, пройденный концом часовой стрелки.

3. Для нахождения длины окружности, на которой опирается вписанный угол, мы должны знать радиус окружности и угол, под которым опирается дуга.

Поскольку у нас имеется вписанный угол, мы знаем, что он равен половине меры дуги, на которую он опирается. То есть, если длина дуги равна 16 см, это значит, что угол вписанный угол равен:

\[40^\circ = \frac{1}{2} \times \frac{16 \, \text{см}}{\pi r}\]

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти радиус \(r\) окружности:

\[40^\circ = \frac{8 \, \text{см}}{\pi r}\]

Умножим обе стороны на \(\pi r\) и разделим на 8:

\[r = \frac{8 \, \text{см}}{40^\circ \cdot \pi} = \frac{1}{5\pi} \, \text{см} \approx 0,0635 \, \text{см}\]

Ответ: радиус окружности, на которой опирается вписанный угол, примерно равен \(0,0635\) см.

4. Чтобы найти радиус треугольника АВС, мы должны использовать известные данные о его сторонах и угле.

Мы знаем, что \(AB = 2\) и \(BC = 3\). Давайте обозначим радиус треугольника как \(r\). Также нам дано, что угол ВАС в три раза больше угла ВСА, что мы можем записать в виде:

\(\angle ВАС = 3 \cdot \angle ВСА\)

Тригонометрический закон синусов говорит нам, что соотношение между сторонами и углами треугольника можно записать следующим образом:

\(\frac{AB}{\sin \angle ВАС} = \frac{BC}{\sin \angle ВСА}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{2}{\sin 3 \cdot \angle ВСА} = \frac{3}{\sin \angle ВСА}\)

Упростим его:

\(\frac{2}{3 \sin \angle ВСА \cos \angle ВСА - 4 \sin^3 \angle ВСА} = \frac{3}{\sin \angle ВСА}\)

Теперь мы можем решить это уравнение для \(\sin \angle ВСА\). После нахождения этого значения, мы можем найти радиус \(r\) с помощью теоремы синусов:

\(r = \frac{AB}{\sin \angle ВСА} = \frac{2}{\sin \angle ВСА}\)

5. Для нахождения центрального угла окружности с известным радиусом \(r\), мы должны использовать формулу для длины дуги окружности.

Длина дуги окружности связана с радиусом и центральным углом, под которым эта дуга опирается.

Формула для длины дуги окружности такая:

\[L = 2\pi r \cdot \frac{\text{Угол в радианах}}{2\pi} = r \cdot \text{Угол в радианах}\]

Мы знаем, что длина дуги равна:

\[16 \, \text{см} = r \cdot \text{Угол в радианах}\]

Теперь мы можем найти угол, используя следующую формулу:

\[\text{Угол в радианах} = \frac{16 \, \text{см}}{r}\]

Ответ: центральный угол окружности с радиусом \(r\) равен \(\frac{16 \, \text{см}}{r}\).