1) Какова сторона основания правильной треугольной призмы, если известно, что боковое ребро равно 6 и диагональ боковой

Полосатик_1959

43

1) Чтобы найти сторону основания правильной треугольной призмы, воспользуемся свойством треугольника. Поскольку диагональ боковой грани равна 10, то она является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами, равными половине бокового ребра и стороне основания треугольной призмы. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\(\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 + x^2} = 10\),

где \(x\) - искомая сторона основания призмы.
Вычислив данное уравнение, найдем ответ:

\(\left(\frac{6}{2}\right)^2 + x^2 = 10^2\),

\(\frac{36}{4} + x^2 = 100\),

\(9 + x^2 = 100\),

\(x^2 = 100 - 9\),

\(x^2 = 91\),

\(x = \sqrt{91}\).

Таким образом, сторона основания призмы равна \(\sqrt{91}\).

2) Чтобы найти высоту призмы, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника. Поскольку точка К является серединой ребра AB, то AK = KB = 13/2. Согласно теореме Пифагора, можно записать уравнение:

\[AK^2 + CK^2 = AC^2.\]

Заметим, что CK равно половине AB (высоте призмы), тогда уравнение принимает вид:

\[\left(\frac{13}{2}\right)^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = AC^2.\]

Также, известно, что BC равно 10. Получаем систему уравнений:

\[\begin{cases} \left(\frac{13}{2}\right)^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = AC^2, \\ AB + AC = 10. \end{cases}\]

Решим систему уравнений:

из первого уравнения выразим высоту призмы AB через AC:

\[\left(\frac{13}{2}\right)^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = AC^2,\]

\[\left(\frac{AB}{2}\right)^2 = AC^2 - \left(\frac{13}{2}\right)^2,\]

\[\left(\frac{AB}{2}\right)^2 = AC^2 - \frac{169}{4},\]

\[\frac{AB^2}{4} = AC^2 - \frac{169}{4},\]

\[AB^2 = 4 \cdot AC^2 - 169.\]

Подставим полученное второе уравнение в выражение для AB:

\[4 \cdot AC^2 - 169 + AC = 10.\]

Далее, решим квадратное уравнение:

\[4 \cdot AC^2 + AC - 159 = 0.\]

Найдем корни этого уравнения:

\[AC_1 = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4 \cdot 4 \cdot 159}}{8}, AC_2 = \frac{-1 - \sqrt{1 + 4 \cdot 4 \cdot 159}}{8}.\]

Таким образом, получим два возможных значения для AC. Однако, поскольку высота не может быть отрицательной, то AC = AC_1.

Подставим найденное значение AC во второе уравнение системы:

\[AB + AC = 10,\]

\[AB + \frac{-1 + \sqrt{1 + 4 \cdot 4 \cdot 159}}{8} = 10,\]

\[AB = 10 - \frac{-1 + \sqrt{1 + 4 \cdot 4 \cdot 159}}{8}.\]

Таким образом, мы получили высоту призмы - AB, в терминах корня и радикалов.

3) Чтобы найти высоту призмы, необходимо учесть, что точка М является серединой ребра CC1, а также известно, что BM = 10 и AB = 6. Рассмотрим треугольник АВМ, где АВ - основание прямоугольной треугольной призмы, а ВМ - медиана треугольника АВС. Согласно теореме о медиане треугольника, медиана разделяет основание на две равные части. Таким образом, можем записать:

BM = MC = 10.

Учитывая это свойство, мы можем записать:

MC = MA + AC.

Зная, что AB = 6, мы можем записать:

\(MC = 6 + AC.\)

Подставим значение MC и BC1 в уравнение:

BM + MC1 = BC,

10 + (6 + AC) = BC,

16 + AC = BC.

Таким образом, высота призмы BC равна 16 + AC.

4) Чтобы найти сторону основания призмы, воспользуемся условиями задачи:
- Она в полтора раза больше высоты призмы, то есть AB = 1.5h,
- Точка К является серединой ребра AC правильной треугольной призмы АВСА1В1С1.

Рассмотрим треугольник АВК, где АВ - основание треугольной призмы, а КМ - медиана треугольника АВК. Согласно теореме о медиане треугольника, медиана делит основание пополам. Таким образом, можем записать:

AK = KB = 0.5AB = 0.5(1.5h) = 0.75h.

Учитывая это свойство, мы можем записать:

AK + KC = AC,

0.75h + 0.75h = AC,

1.5h = AC.

Таким образом, сторона основания призмы AC равна 1.5h.