1. Какова вероятность того, что в финальном 100-метровом забеге первым пробежит студент с первого курса, вторым

Сквозь_Тьму

66

Задача 1. Для решения данной задачи нам необходимо знать общее количество студентов на каждом курсе и предположить, что каждый студент имеет одинаковые шансы на победу.

Допустим, на первом курсе учатся \(n_1\) студентов, на втором курсе - \(n_2\) студентов, а на третьем курсе - \(n_3\) студентов. Общее число студентов участвующих в забеге будет равно \(N = n_1 + n_2 + n_3\).

Вероятность того, что первым местом займет студент с первого курса, равна \(P_1 = \frac{n_1}{N}\), так как у нас есть \(n_1\) успешных исходов из всего возможного числа студентов \(N\).

После того, как первый студент пробежал первым, нам нужно найти вероятность того, что вторым местом займет студент с четвертого курса. Так как первое место уже занято, общее число возможных студентов для второго места будет равно \(N-1\). Поскольку на четвертом курсе учатся \(n_4\) студентов, вероятность этого события равна \(P_2 = \frac{n_4}{N-1}\).

Наконец, после определения первых двух мест, нам нужно найти вероятность того, что третьим будет студент с третьего курса. Учитывая, что первые два места уже заняты, всего возможных студентов для третьего места будет \(N-2\), а число студентов на третьем курсе - \(n_3\). Таким образом, вероятность этого события равна \(P_3 = \frac{n_3}{N-2}\).

Наконец, чтобы найти общую вероятность всех трех событий, мы должны перемножить вероятности каждого отдельного события:
\[P_{общ} = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \frac{n_1}{N} \cdot \frac{n_4}{N-1} \cdot \frac{n_3}{N-2}\]

Задача 2. Следуя аналогичной логике, чтобы найти вероятность того, что среди трех призеров нет студенита с четвертого курса, мы должны рассчитать вероятность противоположного события. То есть вероятность, что хотя бы один призер будет с четвертого курса.

Вероятность того, что первое место займет студент с четвертого курса, равна \(P_1 = \frac{n_4}{N}\). Затем, чтобы найти вероятность того, что один из двух оставшихся мест будет занят студентом с четвертого курса, мы должны разделить число студентов четвертого курса на общее количество студентов, оставшихся на соревнованиях после первого места. Это будет \(P_2 = \frac{n_4}{N-1}\). Наконец, чтобы найти вероятность, что третьим местом займет студент с четвертого курса, нам нужно разделить число студентов с четвертого курса на общее количество студентов, оставшихся на соревнованиях после первых двух мест, что будет \(P_3 = \frac{n_4}{N-2}\).

Теперь, чтобы найти вероятность противоположного события, мы должны вычесть эту сумму из единицы:
\[P_{против} = 1 - (P_1 \cdot P_2 \cdot P_3)\]

Задача 3. Теперь рассмотрим вероятность того, что студент возьмет ровно три салата из пяти возможных блюд.

Общее количество возможных комбинаций пяти блюд будет равно \(\binom{5}{3} = 10\), так как мы выбираем три салата из пяти.

Число комбинаций, которые содержат ровно три салата, будет равно \(\binom{3}{3} \cdot \binom{2}{0} = 1\), так как мы выбираем все три салата, но ни одного из вторых блюд (первые блюда не имеют значения для данного события).

Таким образом, вероятность того, что студент возьмет три салата, будет равна \(\frac{1}{10}\).

Задача 4. Аналогично предыдущей задаче, мы должны рассмотреть вероятность того, что студент возьмет по два первых и два вторых блюда из общего числа пяти блюд.

Общее количество возможных комбинаций будет равно \(\binom{5}{2} \cdot \binom{3}{2} = 30\), так как мы выбираем два первых блюда из пяти и два вторых блюда из трех.

Таким образом, вероятность того, что студент возьмет два первых и два вторых блюда, будет равна \(\frac{1}{30}\).

Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам понять вероятности в данных задачах.