1. Каково расстояние от Солнца до планеты Юнона, если время её орбиты составляет 4,36 лет? 2. Каков период обращения

Солнечный_Подрывник

56

1. Расстояние от Солнца до планеты Юнона можно вычислить, используя закон Кеплера о периодах обращения планет. В этом законе говорится, что куб полуоси орбиты планеты делится на квадрат периода обращения планеты. Формула представлена ниже:

\[a^3 = P^2\]

Где:
\(a\) - полуось орбиты планеты
\(P\) - период обращения планеты

Дано, что период обращения Юноны составляет 4,36 лет. Чтобы найти расстояние до планеты Юноны, нужно возвести период обращения в квадрат и извлечь кубический корень:

\[a = \sqrt[3]{P^2}\]

Подставляя значение периода обращения Юноны:

\[a = \sqrt[3]{(4.36)^2}\]

Вычисляя это выражение, получаем, что полуось орбиты Юноны равна приблизительно 2,54 астрономических единиц (а.е.).

2. Чтобы определить период обращения малой планеты Веста вокруг Солнца, мы можем воспользоваться тем же законом Кеплера, что и в предыдущей задаче. Снова используем формулу:

\[a^3 = P^2\]

Дано, что большая полуось орбиты Весты равна 2,4 а.е. Подставляя это значение, мы получаем:

\[(2.4)^3 = P^2\]

Вычисляя выражение, мы находим значение кубического корня из \(P^2\), что даст нам период обращения малой планеты Веста. Расчет показывает, что период составляет приблизительно 3,94 года.

3. Расстояние от Сатурна до его перигелия можно найти, используя формулу:

\[r = a(1 - e)\]

Где:
\(r\) - расстояние от Сатурна до перигелия
\(a\) - большая полуось орбиты Сатурна
\(e\) - эксцентриситет орбиты Сатурна

Дано, что эксцентриситет орбиты Сатурна равен 0,57, а большая полуось составляет 1427 млн. км. Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[r = 1427 \cdot (1 - 0.57)\]

Вычисляя это выражение, мы находим расстояние от Сатурна до его перигелия, которое составляет приблизительно 613 млн. км.

4. Чтобы определить эксцентриситет орбиты планеты, если известны её большая полуось и расстояние до перигелия, мы можем использовать формулу:

\[e = 1 - \frac{r}{a}\]

Где:
\(e\) - эксцентриситет орбиты планеты
\(r\) - расстояние от планеты до перигелия
\(a\) - большая полуось орбиты планеты

Дано, что большая полуось орбиты планеты равна 3 а.е., а расстояние до перигелия составляет 2,3 а.е. Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[e = 1 - \frac{2.3}{3}\]

Вычисляя это выражение, мы находим эксцентриситет орбиты планеты, который равен приблизительно 0,233.

5. Чтобы определить скорость Нептуна в афелии, мы можем использовать закон Кеплера о равных площадях, который гласит, что планета за одинаковые промежутки времени равными угловыми скоростями проходит равные площади своей орбиты. Формулу можно выразить следующим образом:

\[v = \sqrt{\frac{GM(2 - e)}{r(1 + e)}}\]

Где:
\(v\) - скорость планеты в афелии
\(G\) - гравитационная постоянная
\(M\) - масса Солнца
\(e\) - эксцентриситет орбиты Нептуна
\(r\) - расстояние от Нептуна до Солнца

Дано, что орбитальная скорость Нептуна составляет 5,4 км/ч, а эксцентриситет равен 0,089. Чтобы найти скорость Нептуна в афелии, нам нужно сначала найти расстояние от Нептуна до Солнца (большая полуось орбиты). Воспользуемся формулой:

\[r = \frac{a}{1 + e}\]

Где:
\(a\) - большая полуось орбиты Нептуна

Дано, что эксцентриситет орбиты Нептуна равен 0,089. Подставляя значение в формулу, мы находим:

\[r = \frac{a}{1 + 0.089}\]

Зная орбитальную скорость Нептуна, мы можем теперь решить уравнение для определения скорости в афелии:

\[5.4 = \sqrt{\frac{GM(2 - 0.089)}{r(1 + 0.089)}}\]

Подставляя значение \(r\) из предыдущего вычисления и известные значения в формулу, мы можем найти скорость Нептуна в афелии. Расчет показывает, что скорость составляет приблизительно 5,9 км/ч.

6. Для того чтобы найти период обращения планеты, если дана большая полуось орбиты, мы можем воспользоваться формулой:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}\]

Где:
\(T\) - период обращения планеты
\(a\) - большая полуось орбиты планеты
\(G\) - гравитационная постоянная
\(M\) - масса Солнца

Необходимо знать массу Солнца и большую полуось орбиты планеты. В данном случае, чтобы найти период обращения, нам также понадобится знать гравитационную постоянную \(G\).