1) Каковы высота и апофема правильной тетраэдра, основание которого имеет стороны в 4 см и 2 см, а боковое ребро равно

Тарас

47

Конечно, я помогу вам с решением этих задач. Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди и решим их шаг за шагом.

1) Для начала определим высоту правильного тетраэдра. Высота - это перпендикуляр, проведенный из вершины тетраэдра к плоскости основания. Поскольку даны стороны основания и боковое ребро, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты.

Первым шагом найдем длину ребра основания через теорему Пифагора:
\[\text{длина ребра основания} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \ \text{см}\]

Теперь найдем высоту, используя выражение для высоты правильного тетраэдра:
\[\text{высота} = \frac{\sqrt{6}}{3} \times \text{длина ребра основания} = \frac{\sqrt{6}}{3} \times 2\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{18}}{3} = \frac{2 \times 3\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2} \ \text{см}\]

Тем самым, высота правильного тетраэдра равна \(2\sqrt{2}\) см.

Теперь давайте найдем апофему правильного тетраэдра. Апофема - это радиус вписанной окружности, которая касается всех граней тетраэдра.

Так как известны стороны основания и боковое ребро, мы можем использовать формулу, связывающую длину апофемы с длиной стороны основания и бокового ребра:
\[\text{апофема} = \sqrt{\text{длина стороны основания}^2 - (\text{боковое ребро}/2)^2} = \sqrt{4^2 - (2/2)^2} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15} \ \text{см} \]

Итак, апофема правильного тетраэдра равна \(\sqrt{15}\) см.

2) Чтобы найти высоту правильного тетраэдра, у которого основание имеет диагональ в 10 см и каждая боковая сторона равна 13 см, мы можем использовать теорему Пифагора.

Первым шагом найдем длину ребра основания, используя теорему Пифагора:
\[\text{длина ребра основания} = \sqrt{13^2 - (10/2)^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \ \text{см}\]

Теперь найдем высоту, используя формулу для высоты правильного тетраэдра:
\[\text{высота} = \frac{\sqrt{6}}{3} \times \text{длина ребра основания} = \frac{\sqrt{6}}{3} \times 12 = \frac{12\sqrt{6}}{3} = 4\sqrt{6} \ \text{см}\]

Таким образом, высота правильного тетраэдра равна \(4\sqrt{6}\) см.

3) Чтобы найти площадь основания и полную площадь боковой поверхности правильного тетраэдра с данными параметрами, мы можем использовать формулы, связывающие эти величины.

Для начала найдем площадь основания. Поскольку мы знаем стороны основания и апофему, мы можем использовать формулу для площади правильного треугольника:
\[\text{площадь основания} = \frac{\text{периметр основания} \times \text{апофему}}{2} = \frac{(10 + 4 + 10) \times 5}{2} = \frac{24 \times 5}{2} = 60 \ \text{кв. см}\]

Теперь найдем полную площадь боковой поверхности. Поскольку у нас правильный тетраэдр, боковые грани являются равносторонними треугольниками.

Таким образом, полная площадь боковой поверхности будет равна площади одного бокового треугольника, умноженной на количество боковых граней, то есть 4:
\[\text{полная площадь боковой поверхности} = 4 \times \frac{1}{2} \times \text{длина стороны основания} \times \text{апофема} = 4 \times \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 100 \ \text{кв. см}\]

Таким образом, площадь основания правильного тетраэдра равна 60 кв. см, а полная площадь боковой поверхности равна 100 кв. см.

Надеюсь, эти подробные решения помогут вам понять данные задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!