1. На какую цифру окончивается результат, полученный мистером Фоксом при перемножении всех нечетных чисел от 1 до 1001?

Podsolnuh

43

Задача 1:
Для того чтобы узнать на какую цифру оканчивается результат, полученный мистером Фоксом при перемножении всех нечетных чисел от 1 до 1001, нам необходимо выполнить это перемножение и проанализировать последнюю цифру полученного числа.

Мы можем воспользоваться программой или калькулятором для выполнения данного перемножения, но также есть способ упростить решение. Давайте посмотрим на свойства умножения нечетных чисел.

Умножение нечетного числа на нечетное число всегда даёт нечетное число. Это свойство можно легко заметить, если учесть, что нечетные числа можно записать в виде \(2n+1\), где \(n\) - целое число. Тогда произведение двух нечетных чисел можно записать как \((2n+1)(2m+1)\), что можно раскрыть в виде:

\[(2n+1)(2m+1) = 4nm + 2n + 2m + 1 = 2(2nm+n+m) + 1\]

Таким образом, результат произведения двух нечетных чисел всегда будет иметь вид \(2k+1\), где \(k\) - целое число.

Рассмотрим задачу наше задание: перемножение всех нечетных чисел от 1 до 1001. Мы можем записать это перемножение следующим образом:

\(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot 999 \cdot 1001\)

Мы знаем, что результатом будет нечетное число, но чтобы найти последнюю цифру этого числа, нужно проделать более тщательные вычисления. Заметим, что каждый множитель, кроме 1 и 1001, можно представить в виде \(2k+1\), где \(k\) - целое число. Таким образом, наше перемножение примет вид:

\(1 \cdot (2k_1+1) \cdot (2k_2+1) \cdot (2k_3+1) \cdot \ldots \cdot 999 \cdot (2k_n+1) \cdot 1001\)

Нам нужно найти последнюю цифру этого числа, поэтому нам не нужно все вычислять. Все множители, кроме 1 и 1001, дают в результате число с нечетной последней цифрой. Рассмотрим оставшиеся два множителя:

\(1 \cdot 1001 = 1001\)

Число 1001 завершается на 1, поэтому последней цифрой искомого числа будет 1.

Таким образом, результат, полученный мистером Фоксом при перемножении всех нечетных чисел от 1 до 1001, оканчивается на цифру 1.

Задача 2:
Мы уже выяснили, что результат будет оканчиваться на цифру 1. Но теперь нам интересно узнать на какую цифру заканчивается само число после перемножения всех нечетных чисел от 1 до 1001.

Мы видим, что результат 1001 заканчивается на 1. При перемножении множителей с нечетными последними цифрами, результат также будет завершаться на цифру 1. То есть, последняя цифра искомого числа также будет 1.

Таким образом, число, полученное мистером Фоксом после перемножения всех нечетных чисел от 1 до 1001, заканчивается на цифру 1.