1. Преобразовать следующие формулы в дизъюнктивную нормальную форму, используя эквивалентные преобразования: а) (x

Romanovich

17

Конечно, я помогу вам с задачей по преобразованию формул в дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ). Для начала разберемся с первой формулой.

а) (x ↔ y) ∧ ¬(z → t)

Шаг 1: Раскроем импликацию во втором слагаемом, используя следующее утверждение вида \(P \rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q\):
(x ↔ y) ∧ (z ∧ ¬t)

Шаг 2: Преобразуем бикондиционал в две импликации, используя следующее утверждение вида \(P \leftrightarrow Q \equiv (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow P)\):
((x → y) ∧ (y → x)) ∧ (z ∧ ¬t)

Шаг 3: Раскроем конъюнкцию внутри скобок:
((¬x ∨ y) ∧ (¬y ∨ x)) ∧ (z ∧ ¬t)

Шаг 4: Распространим конъюнкцию через дизъюнкцию по закону дистрибутивности:
((¬x ∧ (z ∧ ¬t)) ∨ (y ∧ (z ∧ ¬t))) ∧ ((¬y ∧ (z ∧ ¬t)) ∨ (x ∧ (z ∧ ¬t)))

Шаг 5: Упростим формулу для получения ДНФ:
(¬x ∧ z ∧ ¬t) ∨ (y ∧ z ∧ ¬t) ∨ (¬y ∧ z ∧ ¬t) ∨ (x ∧ z ∧ ¬t)

Таким образом, формула (x ↔ y) ∧ ¬(z → t) в дизъюнктивной нормальной форме будет выглядеть следующим образом:
(¬x ∧ z ∧ ¬t) ∨ (y ∧ z ∧ ¬t) ∨ (¬y ∧ z ∧ ¬t) ∨ (x ∧ z ∧ ¬t)

Теперь перейдем к формуле б.

б) ((x → y) → (z → ¬x))

Шаг 1: Раскроем импликации в обоих слагаемых:
(¬(x → y) ∨ (z → ¬x))

Шаг 2: Раскроем внутренние импликации, используя утверждение \(P \rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q\):
(¬(¬x ∨ y) ∨ (¬z ∨ ¬x))

Шаг 3: Применим закон де Моргана к отрицаниям внутри скобок и получим:
((x ∧ ¬y) ∨ (¬z ∨ ¬x))

Таким образом, формула ((x → y) → (z → ¬x)) в дизъюнктивной нормальной форме будет выглядеть следующим образом:
((x ∧ ¬y) ∨ (¬z ∨ ¬x))

Надеюсь, это решение поможет вам лучше понять, как преобразовать данные формулы в дизъюнктивную нормальную форму. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.