1. У треугольника MNK известны следующие длины сторон: MN = 12, KM = 17, NK = 19. Упишите углы треугольника

Cyplenok

53

Задача 1. Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Согласно теореме косинусов, для треугольника с известными длинами сторон \(a\), \(b\), \(c\) и соответствующими углами \(A\), \(B\), \(C\) справедливо следующее равенство:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Применяя данную формулу, найдём значения косинусов углов:

\[\cos(A) = \frac{17^2 + 19^2 - 12^2}{2 \cdot 17 \cdot 19} \approx 0.024\]
\[\cos(B) = \frac{12^2 + 19^2 - 17^2}{2 \cdot 12 \cdot 19} \approx 0.247\]
\[\cos(C) = \frac{12^2 + 17^2 - 19^2}{2 \cdot 12 \cdot 17} \approx -0.222\]

Теперь, зная значения косинусов углов, найдём сами углы по формуле:

\[A = \arccos(0.024) \approx 1.547 \text{ радиан}\]
\[B = \arccos(0.247) \approx 1.320 \text{ радиан}\]
\[C = \arccos(-0.222) \approx 2.351 \text{ радиан}\]

Далее, чтобы выразить углы в градусах, умножим их значения на \(\frac{180}{\pi}\):

\[A \approx 88.774 \degree\]
\[B \approx 75.524 \degree\]
\[C \approx 134.702 \degree\]

Таким образом, углы треугольника \(MNK\) в порядке возрастания их величин: \(B\), \(A\), \(C\).

Ответ: BAС.

Задача 2. Для определения наибольшей возможной целочисленной длины стороны \(AC\) воспользуемся неравенством треугольника.

По неравенству треугольника для сторон треугольника с длинами \(AB\), \(BC\), \(AC\) справедливо следующее условие:

\[|AB - BC| < AC < AB + BC\]

Исходя из данного условия и известных длин сторон \(AB = 11\) и \(BC = 8\), получаем:

\[|11 - 8| < AC < 11 + 8\]

\[3 < AC < 19\]

Таким образом, наибольшая возможная целочисленная длина стороны \(AC\) равна 18.

Ответ: 2) 18.

Задача 3. Пусть углы треугольника ABC равны \(x\), \(2x\), \(3x\).

Так как каждый угол должен быть меньше 180 градусов, то сумма углов треугольника должна быть равна 180 градусов:

\[x + 2x + 3x = 180\]

\[6x = 180\]

\[x = 30\]

Таким образом, угол при вершине А равен \(x = 30\) градусов.

Ответ: 2) 30.