1. Якщо периметр основи правильної чотирикутної піраміди становить 4 см, а апофема - 1 см, то яка площа бічної поверхні

Cyplenok_7325

9

Давайте пошуками розв"язку зазначених задач:

1. Для знаходження площі бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди можна використати формулу:

\[ S_{\text{біч}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр} \times \text{апофема} \]

Підставимо відомі значення: периметр = 4 см, апофема = 1 см

\[ S_{\text{біч}} = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2 \, \text{см}^2 \]

Отже, площа бічної поверхні піраміди дорівнює 2 квадратним сантиметрам.

2. Для знаходження двогранного кута при основі правильної трикутної піраміди, можна скористатися теоремою косинусів:

\[ \cos(\text{кут}) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

де a = сторона основи = 3 см, апофема = 1 см, c = сторона трикутника, яку потрібно знайти.

Знаходимо значення c:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\text{кут})} \]

\[ c = \sqrt{3^2 + 1^2 - 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \cos(\text{кут})} \]

Виходячи з умови, кут між стороною основи і апофемою має бути двограний. Тому:

\[ \cos(\text{кут}) = -\frac{1}{2} \]

Підставимо значення та обчислимо c:

\[ c = \sqrt{3^2 + 1^2 - 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \]

\[ c = \sqrt{9 + 1 + 3} = \sqrt{13} \, \text{см} \]

Таким чином, довгираний кут при основі піраміди складається з \( \sqrt{13} \) сантиметрів.

3. Знаходження площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди в цій задачі вимагає розрахунку висоти піраміди. Знаючи довжину бічного ребра, можемо використати формулу:

\[ h = a \times \sin(\text{кут}) \]

де a = довжина бічного ребра = 10 см, \( \text{кут} = 30° \)

\[ h = 10 \times \sin(30°) \]

\[ h = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \, \text{см} \]

Тепер, коли маємо висоту піраміди, можемо іншою формулою знайти площу бічної поверхні:

\[ S_{\text{біч}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр} \times h \]

Складемо остаточний розрахунок:

\[ S_{\text{біч}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 = 7.5 \, \text{см}^2 \]

Отже, площа бічної поверхні даної трикутної піраміди становить 7.5 квадратних сантиметри.

4. Якщо всі двогранні кути при сторонах основи правильної трикутної піраміди мають величину 60°, то піраміда є рівнобедреною.

За теоремою синусів можна встановити наступний зв"язок між сторонами трикутника та висотою:

\[ \frac{a}{\sin(\text{кут})} = \frac{h}{\sin(\tfrac{1}{2} \cdot \text{кут})} \]

запишемо дещо скороченою формою:

\[ \frac{a}{\sin(60°)} = \frac{h}{\sin(\tfrac{1}{2} \cdot 60°)} \]

\[ \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{h}{\frac{1}{2}} \]

\[ 2a = \sqrt{3}h \]

Відомо, що сторони трикутника a = 5 см, a = 6 см, a = 5 см

Підставимо ці значення до отриманого зв"язку:

\[ 2 \cdot 5 = \sqrt{3}h \]

\[ 10 = \sqrt{3}h \]

\[ h = \frac{10}{\sqrt{3}} \]

\[ h \approx 5.77 \, \text{см} \]

Отже, висота піраміди дорівнює приблизно 5.77 сантиметрам.

5. У цій задачі потрібно з"ясувати довжину висоти піраміди.

Оскільки всі двогранні кути при сторонах основи мають величину 60°, ми маємо справу з рівнобедреною трикутною пірамідою.

Відповідно до властивостей рівнобедреної трикутної піраміди, висота може бути обчислена за формулою:

\[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2} \]

де a = сторона основи = 5 см, c = основа піраміди = 6 см

\[ h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{6}{2}\right)^2} \]

\[ h = \sqrt{25 - 9} \]

\[ h = \sqrt{16} \]

\[ h = 4 \, \text{см} \]

Отож, довжина висоти піраміди становить 4 сантиметри.

Це виключно детальні розв"язки кожної з задач. Маю надію, що вони стали зрозумілими та інформативними для вас. Якщо у вас є ще питання, будь ласка, повідомте мені. Я готовий допомогти!