15. Предъявите программу, выводящую сообщение «Да», когда точка с координатами (х, у) находится внутри закрашенной

Svyatoslav

43

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо определить, находится ли заданная точка внутри закрашенной области или нет. Для этого мы можем воспользоваться координатным методом.

Предусмотрим, что закрашенная область представляет собой треугольник с вершинами в точках (1,1), (1,4) и (4,1), как показано на рисунке ниже:

\[
\begin{array}{c}
(4,1)\\
\\
\\
(1,1)\\
\\
\\
(1,4)
\end{array}
\]

Для определения, находится ли точка \((x, y)\) внутри треугольника, мы должны убедиться, что она находится с одной стороны каждой из сторон треугольника. Мы можем использовать знаковую функцию площади треугольника, чтобы определить это.

Шаг 1: Вычисление площади треугольника

Чтобы вычислить площадь треугольника с вершинами \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) и \((x_3, y_3)\), мы можем использовать следующую формулу:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\right|
\]

Шаг 2: Проверка положения точки

Проверим, с одной стороны ли каждая из сторон треугольника находится точка.

Пусть \((x_1, y_1) = (1,1)\), \((x_2, y_2) = (1,4)\), \((x_3, y_3) = (4,1)\) и точка \((x, y)\) - координаты заданной точки.

1. Проверим положение точки относительно стороны, соединяющей вершины \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\):
- Если площадь треугольника, составленного вершинами \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) и \((x, y)\), меньше нуля, то точка находится с одной стороны этой стороны треугольника.
- Если площадь больше нуля, то точка находится с другой стороны этой стороны треугольника.
- Если площадь равна нулю, то точка находится на этой стороне треугольника.

2. Проверим положение точки относительно стороны, соединяющей вершины \((x_1, y_1)\) и \((x_3, y_3)\).
- Если площадь треугольника, составленного вершинами \((x_1, y_1)\), \((x_3, y_3)\) и \((x, y)\), меньше нуля, то точка находится с одной стороны этой стороны треугольника.
- Если площадь больше нуля, то точка находится с другой стороны этой стороны треугольника.
- Если площадь равна нулю, то точка находится на этой стороне треугольника.

3. Проверим положение точки относительно стороны, соединяющей вершины \((x_2, y_2)\) и \((x_3, y_3)\).
- Если площадь треугольника, составленного вершинами \((x_2, y_2)\), \((x_3, y_3)\) и \((x, y)\), меньше нуля, то точка находится с одной стороны этой стороны треугольника.
- Если площадь больше нуля, то точка находится с другой стороны этой стороны треугольника.
- Если площадь равна нулю, то точка находится на этой стороне треугольника.

Давайте решим пример для конкретных координат. Пусть заданная точка имеет координаты \((2,2)\).

1. Для стороны, соединяющей вершины \((1,1)\) и \((1,4)\), площадь треугольника равна:

\[
\begin{align*}
S_1 &= \frac{1}{2} \cdot \left|1\cdot(4-2) + 1\cdot(2-1) + 2\cdot(1-4)\right| \\
&= \left|\frac{1}{2} \cdot (-2 - 1 - 6)\right| \\
&= \left|\frac{1}{2} \cdot (-9)\right| \\
&= 4.5
\end{align*}
\]

Так как площадь положительная, точка \((2,2)\) находится с другой стороны этой стороны треугольника.

2. Для стороны, соединяющей вершины \((1,1)\) и \((4,1)\), площадь треугольника равна:

\[
\begin{align*}
S_2 &= \frac{1}{2} \cdot \left|1\cdot(1-2) + 4\cdot(2-1) + 2\cdot(1-1)\right| \\
&= \left|\frac{1}{2} \cdot (-1 + 4 + 0)\right| \\
&= \left|\frac{1}{2} \cdot (3)\right| \\
&= 1.5
\end{align*}
\]

Так как площадь положительная, точка \((2,2)\) находится с другой стороны этой стороны треугольника.

3. Для стороны, соединяющей вершины \((1,4)\) и \((4,1)\), площадь треугольника равна:

\[
\begin{align*}
S_3 &= \frac{1}{2} \cdot \left|1\cdot(1-4) + 4\cdot(4-1) + 2\cdot(4-1)\right| \\
&= \left|\frac{1}{2} \cdot (-3 + 12 + 6)\right| \\
&= \left|\frac{1}{2} \cdot (15)\right| \\
&= 7.5
\end{align*}
\]

Так как площадь положительная, точка \((2,2)\) находится с другой стороны этой стороны треугольника.

Таким образом, для точки \((2,2)\) ответом будет "Нет", так как она находится вне закрашенной области.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как решить данную задачу. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!