1a) Постройте пятиугольник Ф1, полученный последовательным соединением точек (-4;-5), (-4;-4), (-3;-4), (-2;-3

Zagadochnaya_Sova_959

35

Шаг 1: Построение пятиугольника Ф1
Для построения пятиугольника Ф1 последовательно соединим данные точки на координатной плоскости. Точки имеют следующие координаты:
A(-4;-5), B(-4;-4), C(-3;-4), D(-2;-3) и E(-2;-5).

\[
\begin{tikzpicture}
\draw[step=1cm,gray,very thin](-6,-6)grid(6,6);
\draw [thick,->](-6,0)--(6,0) node[right]{$x$};
\draw[thick,->](0,-6)--(0,6) node[above]{$y$};

\filldraw[black](-4,-5)circle(2pt) node[anchor=north east]{$A$};
\filldraw[black](-4,-4)circle(2pt) node[anchor=east]{$B$};
\filldraw[black](-3,-4)circle(2pt) node[anchor=north]{$C$};
\filldraw[black](-2,-3)circle(2pt) node[anchor=south east]{$D$};
\filldraw[black](-2,-5)circle(2pt) node[anchor=north west]{$E$};

\draw (-4,-5)--(-4,-4)--(-3,-4)--(-2,-3)--(-2,-5)--cycle;
\end{tikzpicture}
\]

Шаг 2: Построение фигуры Ф2
Чтобы построить фигуру Ф2, перемещаем пятиугольник Ф1 параллельно на вектор р(-1;1). Для этого мы должны применить параллельный перенос координат каждой точки пятиугольника Ф1. Таким образом, новые координаты точек будут иметь вид:
A1 = A + р = (-4;-5) + (-1;1) = (-5;-4)
B1 = B + р = (-4;-4) + (-1;1) = (-5;-3)
C1 = C + р = (-3;-4) + (-1;1) = (-4;-3)
D1 = D + р = (-2;-3) + (-1;1) = (-3;-2)
E1 = E + р = (-2;-5) + (-1;1) = (-3;-4)

\[
\begin{tikzpicture}
\draw[step=1cm,gray,very thin](-6,-6)grid(6,6);
\draw [thick,->](-6,0)--(6,0) node[right]{$x$};
\draw[thick,->](0,-6)--(0,6) node[above]{$y$};

\filldraw[black](-5,-4)circle(2pt) node[anchor=north east]{$A_1$};
\filldraw[black](-5,-3)circle(2pt) node[anchor=east]{$B_1$};
\filldraw[black](-4,-3)circle(2pt) node[anchor=north]{$C_1$};
\filldraw[black](-3,-2)circle(2pt) node[anchor=south east]{$D_1$};
\filldraw[black](-3,-4)circle(2pt) node[anchor=north west]{$E_1$};

\draw (-5,-4)--(-5,-3)--(-4,-3)--(-3,-2)--(-3,-4)--cycle;
\end{tikzpicture}
\]

Шаг 3: Построение фигуры Ф3
Для построения фигуры Ф3, отразим фигуру Ф2 относительно прямой у = -x - 1. Для этого проведем нормаль из каждой вершины фигуры Ф2 к данной прямой. Пересечение данных нормалей с прямой даст новые координаты вершин фигуры Ф3.
Проведем нормали из каждой вершины фигуры Ф2:

\[
\begin{tikzpicture}
\draw[step=1cm,gray,very thin](-6,-6)grid(6,6);
\draw [thick,->](-6,0)--(6,0) node[right]{$x$};
\draw[thick,->](0,-6)--(0,6) node[above]{$y$};
\draw [thick,color=gray, dashed](-6,5)--(6,-7);

\filldraw[black](-5,-4)circle(2pt) node[anchor=north east]{$A_1$};
\filldraw[black](-5,-3)circle(2pt) node[anchor=east]{$B_1$};
\filldraw[black](-4,-3)circle(2pt) node[anchor=north]{$C_1$};
\filldraw[black](-3,-2)circle(2pt) node[anchor=south east]{$D_1$};
\filldraw[black](-3,-4)circle(2pt) node[anchor=north west]{$E_1$};

\draw [thick,color=gray, dashed] (-4,-3)--(-2,-5)--(-6,-1);

\draw [thick,->](-5,-4)--(-4,-5);
\draw [thick,->](-5,-3)--(-3,-5);
\draw [thick,->](-4,-3)--(-2,-5);
\draw [thick,->](-3,-2)--(-1,-4);
\draw [thick,->](-3,-4)--(-1,-6);

\end{tikzpicture}
\]

Когда мы провели все нормали, получаем новые пересечения на прямой у = -x - 1:
A2 = (-p; -p-1) = (-(-5); -(-5)-1) = (5;6)
B2 = (-q; -q-1) = (-(-3); -(-3)-1) = (3;4)
C2 = (-r; -r-1) = (-(-2); -(-2)-1) = (2;1)
D2 = (-s; -s-1) = (-(-1); -(-1)-1) = (1;0)
E2 = (-t; -t-1) = (-(-1); -(-1)-1) = (1;0)

Фигура Ф3 имеет следующий вид:

\[
\begin{tikzpicture}
\draw[step=1cm,gray,very thin](-6,-6)grid(6,6);
\draw [thick,->](-6,0)--(6,0) node[right]{$x$};
\draw[thick,->](0,-6)--(0,6) node[above]{$y$};
\draw [thick,color=gray, dashed](-6,5)--(6,-7);

\filldraw[black](5,6)circle(2pt) node[anchor=east]{$A_2$};
\filldraw[black](3,4)circle(2pt) node[anchor=north east]{$B_2$};
\filldraw[black](2,1)circle(2pt) node[anchor=east]{$C_2$};
\filldraw[black](1,0)circle(2pt) node[anchor=east]{$D_2$};
\filldraw[black](1,0)circle(2pt) node[anchor=east]{$E_2$};

\draw (5,6)--(3,4)--(2,1)--(1,0)--(1,0)--cycle;
\end{tikzpicture}
\]

Шаг 4: Построение фигуры Ф4
Чтобы построить фигуру Ф4, отразим фигуру Ф3 относительно точки (1; 1). Для этого проведем лучи из данной точки к каждой вершине фигуры Ф3. Пересечение данных лучей с прямыми даст новые координаты вершин фигуры Ф4.
Проведем лучи из точки (1; 1):

\[
\begin{tikzpicture}
\draw[step=1cm,gray,very thin](-6,-6)grid(6,6);
\draw [thick,->](-6,0)--(6,0) node[right]{$x$};
\draw[thick,->](0,-6)--(0,6) node[above]{$y$};
\draw [thick,color=gray, dashed](-6,6)--(6,6);
\filldraw[black](5,5)circle(2pt) node[anchor=east]{$A_3$};
\filldraw[black](3,3)circle(2pt) node[anchor=north east]{$B_3$};
\filldraw[black](2,0)circle(2pt) node[anchor=east]{$C_3$};
\filldraw[black](0,-1)circle(2pt) node[anchor=east]{$D_3$};
\filldraw[black](0,-1)circle(2pt) node[anchor=east]{$E_3$};

\draw [thick,color=gray, dashed] (1,1)--(-2,4);
\draw [thick,->](1,1)--(5,5);
\draw [thick,->](1,1)--(3,3);
\draw [thick,->](1,1)--(2,0);
\draw [thick,->](1,1)--(0,-1);
\draw [thick,->](1,1)--(0,-1);

\end{tikzpicture}
\]

Когда мы провели все лучи, получаем новые пересечения на прямой:
A3 = O + OA2 = (1,1) + (5;5) = (6;6)
B3 = O + OB2 = (1,1) + (3;3) = (4;4)
C3 = O + OC2 = (1,1) + (2;1) = (3;2)
D3 = O + OD2 = (1,1) + (1;0) = (2;1)
E3 = O + OE2 = (1,1) + (1;0) = (2;1)

Фигура Ф4 имеет следующий вид:

\[
\begin{tikzpicture}
\draw[step=1cm,gray,very thin](-6,-6)grid(6,6);
\draw [thick,->](-6,0)--(6,0) node[right]{$x$};
\draw[thick,->](0,-6)--(0,6) node[above]{$y$};
\draw [thick,color=gray, dashed](-6,6)--(6,6);

\filldraw[black](6,6)circle(2pt) node[anchor=east]{$A_3$};
\filldraw[black](4,4)circle(2pt) node[anchor=north east]{$B_3$};
\filldraw[black](3,2)circle(2pt) node[anchor=east]{$C_3$};
\filldraw[black](2,1)circle(2pt) node[anchor=east]{$D_3$};
\filldraw[black](2,1)circle(2pt) node[anchor=east]{$E_3$};

\draw (6,6)--(4,4)--(3,2)--(2,1)--(2,1)--cycle;
\end{tikzpicture}
\]

Шаг 5: Построение фигуры Ф5
Для построения фигуры Ф5, поворачиваем фигуру Ф3 против часовой стрелки на 90° вокруг точки (3;-2). Для этого применяем формулу поворота:

\[
\begin{align*}
x" &= x_0 + (x-x_0) \cdot \cos \theta - (y-y_0) \cdot \sin \theta \\
y" &= y_0 + (x-x_0) \cdot \sin \theta + (y-y_0) \cdot \cos \theta
\end{align*}
\]

Где (x,y) - текущие координаты точки, (x",y") - новые координаты повернутой точки, (x0,y0) - центр поворота, и \(\theta\) - угол поворота.
Применяя эту формулу для каждой точки фигуры Ф3 с центром поворота в (3;-2) и углом поворота -90°, получим новые координаты вершин фигуры Ф5.
Выполняя вычисления, получаем следующие новые координаты:
A4 = (4;1), B4 = (2;-1), C4 = (1;-4), D4 = (-1;-5), E4 = (-1;-5).

\[
\begin{tikzpicture}
\draw[step=1cm,gray,very thin](-6,-6)grid(6,6);
\draw [thick,->](-6,0)--(6,0) node[right]{$x$};
\draw[thick,->](0,-6)--(0,6) node[above]{$y$};

\filldraw[black](4,1)circle(2pt) node[anchor=south east]{$A_4$};
\filldraw[black](2,-1)circle(2pt) node[anchor=west]{$B_4$};
\filldraw[black](1,-4)circle(2pt) node[anchor=east]{$C_4$};
\filldraw[black](-1,-5)circle(2pt) node[anchor=east]{$D_4$};
\filldraw[black](-1,-5)circle(2pt) node[anchor=east]{$E_4$};

\draw (4,1)--(2,-1)--(1,-4)--(-1,-5)--(-1,-5)--cycle;
\end{tikzpicture}
\]

Таким образом, получаем фигуру Ф5, которая будет иметь вид показанный на рисунке.