2. При предположении, что орбиты Земли и Меркурия являются круговыми, нужно определить, сколько длится год на Меркурии

Магический_Лабиринт_8949

1

Для того чтобы определить продолжительность года на Меркурии, мы можем использовать законы Кеплера и сравнить орбиты Земли и Меркурия.

Закон Кеплера о периодах планетарных движений гласит, что квадрат периода обращения \(T\) непосредственно пропорционален кубу большой полуоси орбиты \(a\) планеты. Это можно записать следующим образом:

\[T^2 \propto a^3\]

Так как мы знаем, что расстояние от Меркурия до Солнца составляет 0,39 раза больше, чем расстояние от Земли до Солнца, то мы можем записать отношение больших полуосей орбит Земли (\(a_{\text{Земли}}\)) и Меркурия (\(a_{\text{Меркурия}}\)) следующим образом:

\[\frac{a_{\text{Меркурия}}}{a_{\text{Земли}}} = 0,39\]

Теперь мы можем использовать это отношение, чтобы найти \(a_{\text{Меркурия}}\):

\[a_{\text{Меркурия}} = 0,39 \cdot a_{\text{Земли}}\]

Затем, используя закон Кеплера, мы можем сравнить периоды обращения Земли и Меркурия. Давайте обозначим период Земли как \(T_{\text{Земли}}\) и период Меркурия как \(T_{\text{Меркурия}}\).

\[(T_{\text{Меркурия}})^2 \propto (a_{\text{Меркурия}})^3\]
\[(T_{\text{Земли}})^2 \propto (a_{\text{Земли}})^3\]

Теперь мы можем использовать отношение \(a_{\text{Меркурия}} = 0,39 \cdot a_{\text{Земли}}\) для нахождения отношения периодов:

\[\frac{T_{\text{Меркурия}}}{T_{\text{Земли}}} = \left(\frac{a_{\text{Меркурия}}}{a_{\text{Земли}}}\right)^{3/2}\]

Подставляем вместо \(a_{\text{Меркурия}} = 0,39 \cdot a_{\text{Земли}}\):

\[\frac{T_{\text{Меркурия}}}{T_{\text{Земли}}} = \left(\frac{0,39 \cdot a_{\text{Земли}}}{a_{\text{Земли}}}\right)^{3/2} = 0,39^{3/2}\]

Остается только найти значение \(0,39^{3/2}\) и получить соотношение между периодами.

\[0,39^{3/2} \approx 0,459\]

Итак, мы получили, что период обращения Меркурия составляет примерно 0,459 раза период обращения Земли. Чтобы найти длительность года на Меркурии, мы можем умножить период обращения Меркурия на длительность года на Земле.

Пусть \(T_{\text{Земли}} = 365\) дней. Тогда:

Длительность года на Меркурии \( = T_{\text{Меркурия}} \times T_{\text{Земли}}\)
\( = 0,459 \times 365\)
\( \approx 167\) дней

Таким образом, год на Меркурии длится примерно 167 дней. Это значит, что Меркурий полностью обращается вокруг Солнца за это время.