40б Каково отношение ускорений a1a2, приобретенных двумя золотыми шариками при их столкновении на гладкой поверхности

Zvezdopad_Feya

63

Для решения данной задачи важно использовать законы сохранения. Первым шариком обозначим шарик с радиусом \(R_1\), вторым шариком - шарик с радиусом \(R_2\).

В данном случае мы имеем столкновение двух тел на гладкой поверхности. Так как поверхность гладкая, то сила трения не участвует в этом столкновении, и можем сказать, что система является замкнутой. Это позволяет нам применить законы сохранения импульса и энергии.

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов замкнутой системы до и после столкновения должна быть равна.
\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2\]
где \(m_1\) и \(m_2\) - массы соответственно первого и второго шариков, \(v_1\) и \(v_2\) - их скорости перед столкновением, \(u_1\) и \(u_2\) - их скорости после столкновения.

Закон сохранения энергии гласит, что полная механическая энергия замкнутой системы до и после столкновения должна быть равной.
\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot u_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot u_2^2\]

Исходя из условия задачи, радиус первого шарика в 4 раза больше радиуса второго шарика, то есть \(R_1 = 4 \cdot R_2\). Масса шарика пропорциональна его объему, который, в свою очередь, пропорционален кубу радиуса. Таким образом, масса первого шарика будет \(m_1 = k \cdot R_1^3\), а масса второго шарика - \(m_2 = k \cdot R_2^3\), где \(k\) - некоторая константа.

Для решения задачи найдем отношение ускорений \(a_1 / a_2\). Используя законы сохранения, можно выразить это отношение через исходные данные задачи.

Решим задачу шаг за шагом:

Шаг 1: Найдем отношение масс шариков:
\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{k \cdot R_1^3}{k \cdot R_2^3}\]
\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{(4 \cdot R_2)^3}{R_2^3} = 64\]

Шаг 2: Используем законы сохранения импульса и энергии:

Закон сохранения импульса:
\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2\]

Закон сохранения энергии:
\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot u_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot u_2^2\]

Шаг 3: Выразим скорости шариков перед столкновением через ускорения:
\[v_1 = a_1 \cdot t\]
\[v_2 = a_2 \cdot t\]
где \(t\) - время столкновения.

Шаг 4: Выразим скорости шариков после столкновения через ускорения:
\[u_1 = -a_1 \cdot t\]
\[u_2 = -a_2 \cdot t\]
(отрицательные знаки обусловлены изменением направления движения шариков после столкновения)

Шаг 5: Подставим найденные выражения для скоростей в законы сохранения:

Закон сохранения импульса:
\[m_1 \cdot (a_1 \cdot t) + m_2 \cdot (a_2 \cdot t) = m_1 \cdot (-a_1 \cdot t) + m_2 \cdot (-a_2 \cdot t)\]
\[m_1 \cdot a_1 \cdot t + m_2 \cdot a_2 \cdot t = -m_1 \cdot a_1 \cdot t - m_2 \cdot a_2 \cdot t\]
\[2 \cdot m_1 \cdot a_1 \cdot t + 2 \cdot m_2 \cdot a_2 \cdot t = 0\]
\[2 \cdot (m_1 \cdot a_1 + m_2 \cdot a_2) \cdot t = 0\]

Закон сохранения энергии:
\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot (a_1 \cdot t)^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot (a_2 \cdot t)^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot (-a_1 \cdot t)^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot (-a_2 \cdot t)^2\]
\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot a_1^2 \cdot t^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot a_2^2 \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot a_1^2 \cdot t^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot a_2^2 \cdot t^2\]

Видим, что оба уравнения равны нулю, так как их левые и правые части совпадают.

Шаг 6: Решим уравнение \((m_1 \cdot a_1 + m_2 \cdot a_2) \cdot t = 0\). Поскольку \(t\) - время столкновения, оно не может быть равно нулю, поэтому уравнение может быть равно нулю только если \(m_1 \cdot a_1 + m_2 \cdot a_2 = 0\).

Шаг 7: Найдем значение \(m_1 \cdot a_1 + m_2 \cdot a2\):
\[m_1 \cdot a_1 + m_2 \cdot a_2 = k \cdot R_1^3 \cdot a_1 + k \cdot R_2^3 \cdot a_2 = k \cdot (4 \cdot R_2)^3 \cdot a_1 + k \cdot R_2^3 \cdot a_2\]
\[= k \cdot 64 \cdot R_2^3 \cdot a_1 + k \cdot R_2^3 \cdot a_2 = k \cdot R_2^3 \cdot (64 \cdot a_1 + a_2) = 0\]

Шаг 8: Отсюда следует, что \(64 \cdot a_1 + a_2 = 0\).

Шаг 9: Решим полученное уравнение:
\[64 \cdot a_1 + a_2 = 0\]
\[64 \cdot a_1 = -a_2\]
\[a_1 = -\frac{a_2}{64}\]

Итак, отношение ускорений \(a_1/a_2\) равно \(-1/64\).

Мы получили ответ с точностью до сотых. Ответ может быть записан в виде \(-0.0156\).