7. В четырехугольнике ABCD заданы точки K на стороне AB, L на стороне BC, M на стороне CD и N на стороне DA. Эти точки

Магический_Кристалл

12

Чтобы найти отношение площади четырёхугольника KLMN к площади четырёхугольника ABCD, нам необходимо рассмотреть отношения длин отрезков, которые задаются условием AK : KB = BL : LC = CM : MD = DN : NA = p : q.

Обозначим стороны четырёхугольника ABCD следующим образом:
AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.

Также обозначим длины отрезков следующим образом:
AK = px, KB = qx,
BL = py, LC = qy,
CM = pz, MD = qz,
DN = pw, NA = qw.

Отношение площади четырёхугольника KLMN к площади четырёхугольника ABCD равно отношению площади треугольника KLM к площади треугольника ABC, так как площадь четырёхугольника ABCD равна сумме площадей треугольников ABC, CDA и KLM.

Площадь треугольника ABC можно найти по формуле Герона:
\[S_{ABC} = \sqrt{p} \cdot \sqrt{q} \cdot \sqrt{(p+q-a)(p+q-b)(p+q-c)}\]

Аналогично, площадь треугольника KLM можно найти по формуле Герона с заменой сторон треугольника на соответствующие отрезки:
\[S_{KLM} = \sqrt{px} \cdot \sqrt{qy} \cdot \sqrt{(px+qy-klm)(lx+my-nk)(mx+ly-kn)}\]

Теперь мы можем записать отношение площадей:
\[\frac{S_{KLM}}{S_{ABC}} = \frac{\sqrt{px} \cdot \sqrt{qy} \cdot \sqrt{(px+qy-klm)(lx+my-nk)(mx+ly-kn)}}{\sqrt{p} \cdot \sqrt{q} \cdot \sqrt{(p+q-a)(p+q-b)(p+q-c)}}\]

Подставим значения отрезков AK, KB, BL, LC, CM, MD, DN, NA:
\[\frac{S_{KLM}}{S_{ABC}} = \frac{\sqrt{px} \cdot \sqrt{qy} \cdot \sqrt{(px+qy-klm)(lx+my-nk)(mx+ly-kn)}}{\sqrt{p} \cdot \sqrt{q} \cdot \sqrt{(p+q-a)(p+q-b)(p+q-c)}}\]

Таким образом, мы получили выражение для отношения площади четырёхугольника KLMN к площади четырёхугольника ABCD. Для вычисления данного отношения необходимо знать значения отрезков AK, KB, BL, LC, CM, MD, DN и NA, а также стороны четырёхугольника ABCD.