А) Какие натуральные числа могут представлять собой значения для a и b, если a + b = 9 и ab = 8? Является ли значение

Magicheskiy_Labirint

33

а) Для поиска значений \(a\) и \(b\), удовлетворяющих уравнениям \(a + b = 9\) и \(ab = 8\), рассмотрим следующий подход.

Из первого уравнения мы можем выразить \(a\) через \(b\):
\[a = 9 - b\]

Подставляем это значение во второе уравнение и решаем относительно \(b\):
\[(9 - b)b = 8\]
\[9b - b^2 = 8\]
\[b^2 - 9b + 8 = 0\]

Факторизуем это квадратное уравнение:
\[(b - 8)(b - 1) = 0\]

Таким образом, получаем два возможных значения для \(b\): 1 и 8.

Подставляем каждое значение \(b\) в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения \(a\):
При \(b = 1\):
\[a = 9 - 1 = 8\]

При \(b = 8\):
\[a = 9 - 8 = 1\]

Таким образом, получаем две пары значений для \(a\) и \(b\): (8, 1) и (1, 8).

Теперь рассмотрим значение выражения \(a^3 - b^3\) для каждой пары значений \(a\) и \(b\):
При \(a = 8\) и \(b = 1\):
\[a^3 - b^3 = 8^3 - 1^3 = 512 - 1 = 511\]

При \(a = 1\) и \(b = 8\):
\[a^3 - b^3 = 1^3 - 8^3 = 1 - 512 = -511\]

Оба значения \(a^3 - b^3\) не являются натуральными числами.

б) Для поиска значений \(a\) и \(b\), удовлетворяющих уравнениям \(a - b = 9\) и \(ab = 10\), используем тот же подход, что и в предыдущей задаче.

Из первого уравнения мы можем выразить \(a\) через \(b\):
\[a = b + 9\]

Подставляем это значение во второе уравнение и решаем относительно \(b\):
\[(b + 9)b = 10\]
\[b^2 + 9b - 10 = 0\]

Факторизуем это квадратное уравнение:
\[(b + 10)(b - 1) = 0\]

Таким образом, получаем два возможных значения для \(b\): -10 и 1.

Подставляем каждое значение \(b\) в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения \(a\):
При \(b = -10\):
\[a = -10 + 9 = -1\]

При \(b = 1\):
\[a = 1 + 9 = 10\]

Таким образом, получаем две пары значений для \(a\) и \(b\): (-1, -10) и (10, 1).

Теперь найдем значения выражения \(a^3 + b^3\) для каждой пары значений \(a\) и \(b\):
При \(a = -1\) и \(b = -10\):
\[a^3 + b^3 = (-1)^3 + (-10)^3 = -1 - 1000 = -1001\]

При \(a = 10\) и \(b = 1\):
\[a^3 + b^3 = 10^3 + 1^3 = 1000 + 1 = 1001\]

Оба значения \(a^3 + b^3\) не являются натуральными числами.

в) Для решения задачи, воспользуемся данным тождеством: \((a - b)^3 = a^3 - 3ab(a - b) - b^3\).

Подставим значения \(a - b = 52\) и \(ab = 1260\) в это тождество и найдем значение выражения \(2(a^3 - 3ab(a - b) - b^3)\):
\[2(a^3 - 3ab(a - b) - b^3) = 2((52)^3 - 3(1260)(52) - (-52)^3)\]

После вычислений получаем значение этого выражения.