Чему равен косинус угла между векторами m и n, если векторы a = 2m +3n и b = 6m -n перпендикулярны, и m

Izumrudnyy_Pegas

15

Для того чтобы узнать, чему равен косинус угла между векторами \(m\) и \(n\), сначала мы должны выразить векторы \(m\) и \(n\) через векторы \(a\) и \(b\), используя данную информацию о перпендикулярности.

Мы знаем, что векторы \(a\) и \(b\) перпендикулярны, что означает, что их скалярное произведение равно нулю. Таким образом, мы можем написать следующее уравнение:

\[a \cdot b = 0\]

Подставим векторы \(a\) и \(b\), используя данную информацию:

\[(2m + 3n) \cdot (6m - n) = 0\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[12m \cdot m + 18m \cdot n - 2n \cdot m - 3n \cdot n = 0\]

Учитывая, что скалярное произведение двух одинаковых векторов равно квадрату длины вектора, а скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, мы можем записать это как:

\[12| m |^2 + 18m \cdot n - 2m \cdot n - 3| n |^2 = 0\]

Теперь обратим внимание на члены, содержащие \(m \cdot n\):

\[18m \cdot n - 2m \cdot n = 16m \cdot n\]

Подставим это обратно в наше уравнение:

\[12| m |^2 + 16m \cdot n - 3| n |^2 = 0\]

Теперь давайте проанализируем полученное уравнение. Мы хотим узнать, чему равен косинус угла между векторами \(m\) и \(n\), так что давайте рассмотрим определение косинуса угла между векторами:

\[\cos(\theta) = \frac{{m \cdot n}}{{| m || n |}}\]

Теперь давайте разделим уравнение на \(| m || n |\):

\[\frac{{12| m |^2}}{{| m || n |}} + \frac{{16m \cdot n}}{{| m || n |}} - \frac{{3| n |^2}}{{| m || n |}} = 0\]

Используя определение косинуса угла между векторами, мы можем записать это как:

\[\frac{{12| m |}}{{| n |}} + \frac{{16m \cdot n}}{{| m || n |}} - \frac{{3| n |}}{{| m |}} = 0\]

Теперь упростим этот член:

\[\frac{{12| m |}}{{| n |}} + \frac{{16\cos(\theta) \cdot | m || n |}}{{| m || n |}} - \frac{{3| n |}}{{| m |}} = 0\]

Мы видим, что \(| m || n |\) сокращается в числителе и знаменателе:

\[12\frac{{| m |}}{{| n |}} + 16\cos(\theta) - \frac{{3| n |}}{{| m |}} = 0\]

Теперь давайте разрешим уравнение относительно \(\cos(\theta)\):

\[16\cos(\theta) = \frac{{3| n |}}{{| m |}} - 12\frac{{| m |}}{{| n |}}\]

\[\cos(\theta) = \frac{{3| n |}}{{16| m |}} - \frac{{12| m |}}{{16| n |}}\]

Таким образом, косинус угла между векторами \(m\) и \(n\) равен \(\frac{{3| n |}}{{16| m |}} - \frac{{12| m |}}{{16| n |}}\).