Чему равна площадь ромба, если диагонали относятся как 3 : 4, а высота известна?

Dasha

8

Для решения этой задачи нам потребуется знать некоторые свойства ромба. Ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны и диагонали взаимно перпендикулярны.

По условию задачи, у нас известно, что диагонали ромба относятся как 3 : 4. Пусть первая диагональ равна 3х, а вторая - 4х (где х - неизвестное число).

Также у нас есть информация о высоте ромба, которая является перпендикуляром к одной из его сторон. Пусть эта высота равна h.

Так как диагонали ромба перпендикулярны, то мы можем разделить ромб на 4 одинаковых треугольника, каждый из которых будет прямоугольным, с катетами, равными половинам диагоналей ромба.

Треугольник с диагональю 3х будет иметь катеты, равные \(\frac{3х}{2}\) и h, а его площадь будет равна \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3х}{2} \cdot h\).

Треугольник с диагональю 4х будет иметь катеты, равные \(\frac{4х}{2}\) (то есть 2х) и h, а его площадь будет равна \(\frac{1}{2} \cdot 2х \cdot h\).

Так как ромб состоит из 4-х таких треугольников, то его площадь будет равна сумме площадей всех этих треугольников:

\(S = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{3х}{2} \cdot h + \frac{1}{2} \cdot 2х \cdot h)\).

Упрощая выражение внутри скобок, получим:

\(S = 4 \cdot (\frac{3х}{4} \cdot h + х \cdot h)\).

Возьмем х и h в скобки:

\(S = 4 \cdot (\frac{3х \cdot h}{4} + х \cdot h)\).

Сложим дроби:

\(S = 4 \cdot (\frac{6х \cdot h}{4})\).

Далее упростим числитель, дли х \cdot h:

\(S = 4 \cdot \frac{6х \cdot h}{4}\).

Будучи сокращенными, получим:

\(S = 6х \cdot h\).

Таким образом, площадь ромба равна \(6х \cdot h\), где х - коэффициент, относящий диагонали ромба, а h - высота ромба.