Чему равна производная функции z=x^2-2xy+3y-1 в точке (1;2) вдоль направления l (1; -1)? Выберите один вариант ответа

Oleg

27

Чтобы найти производную функции z(x, y) по направлению \(\vec{l}=(1, -1)\) в точке (1, 2), мы можем использовать направленную производную. Формула направленной производной выглядит следующим образом:

\[
D_{\vec{l}}z = \frac{{\partial z}}{{\partial x}} \cdot \frac{{dx}}{{dt}} + \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \cdot \frac{{dy}}{{dt}}
\]

где \(\frac{{dx}}{{dt}}\) и \(\frac{{dy}}{{dt}}\) - это изменение x и y по направлению \(\vec{l}\), соответственно.

Для начала, найдем частные производные функции z(x, y) по x и y:

\[
\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 2x - 2y
\]

\[
\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = -2x + 3
\]

Затем найдем значения изменений x и y по направлению \(\vec{l}\). Поскольку \(\vec{l}=(1, -1)\), изменение x будет равно 1, а изменение y будет равно -1.

Теперь мы можем вычислить производную функции по направлению \(\vec{l}\), подставив найденные значения в формулу направленной производной:

\[
D_{\vec{l}}z = (2x - 2y) \cdot \frac{{dx}}{{dt}} + (-2x + 3) \cdot \frac{{dy}}{{dt}}
\]

\[
D_{\vec{l}}z = (2 \cdot 1 - 2 \cdot 2) \cdot 1 + (-2 \cdot 1 + 3) \cdot (-1)
\]

\[
D_{\vec{l}}z = (2 - 4) + (-2 + 3) = -2 + 1 = -1
\]

Таким образом, производная функции z(x, y) в точке (1, 2) вдоль направления \(\vec{l}=(1, -1)\) равна -1. Ответ: нет варианта ответа из предложенных (a. 3, b. 0, c. 2).