Чему равно значение tg2x, если известно, что tgx=10?

Сквозь_Огонь_И_Воду

65

Конечно, я могу помочь с решением данной задачи!

Поскольку в условии задачи дано, что \(\tg(x) = 10\), мы можем воспользоваться тригонометрической тождествой:
\[
\tg^2(x) = \frac{{\sin^2(x)}}{{\cos^2(x)}}
\]

Чтобы найти значение \(\tg^2(2x)\), нам нужно найти значения \(\sin(2x)\) и \(\cos(2x)\).

Используя формулу двойного угла для синуса, мы можем записать:
\[
\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)
\]

Аналогично, формула двойного угла для косинуса выглядит так:
\[
\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)
\]

Теперь мы можем подставить значения \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) в эти формулы. Поскольку \(\tg(x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}} = 10\), мы можем найти \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) следующим образом:
\[
\sin(x) = 10\cos(x)
\]
\[
\sin^2(x) = 100\cos^2(x)
\]
\[
\cos^2(x) = \frac{{\sin^2(x)}}{{100}}
\]
\[
\cos(x) = \sqrt{\frac{{\sin^2(x)}}{{100}}}
\]

Теперь, подставляя эти значения в формулы двойного угла, получим:
\[
\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) = 2\cdot10\cos(x)\cdot \sqrt{\frac{{\sin^2(x)}}{{100}}} = \frac{{20\sin(x)\sin(x)}}{{10}} = 2\sin^2(x)
\]
\[
\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \frac{{\sin^2(x)}}{{100}} - \sin^2(x) = \frac{{\sin^2(x) - 100\sin^2(x)}}{{100}} = -\frac{{99\sin^2(x)}}{{100}}
\]

И, наконец, мы можем выразить \(\tg^2(2x)\) через \(\sin^2(x)\) и \(\cos^2(x)\):
\[
\tg^2(2x) = \frac{{\sin^2(2x)}}{{\cos^2(2x)}} = \frac{{4\sin^2(x)}}{{99\sin^2(x)}} = \frac{{4}}{{99}}
\]

Таким образом, значение \(\tg^2(2x)\) равно \(\frac{{4}}{{99}}\).