Чему равно значение tg2x, если известно, что tgx=10?

Сквозь_Огонь_И_Воду

65

Конечно, я могу помочь с решением данной задачи!

Поскольку в условии задачи дано, что $\text{tg}(x)=10$, мы можем воспользоваться тригонометрической тождествой:
$${\text{tg}}^2(x)=\frac{{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}$$

Чтобы найти значение ${\text{tg}}^2(2x)$, нам нужно найти значения $\sin (2x)$ и $\cos (2x)$.

Используя формулу двойного угла для синуса, мы можем записать:
$$\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$$

Аналогично, формула двойного угла для косинуса выглядит так:
$$\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)$$

Теперь мы можем подставить значения $\sin (x)$ и $\cos (x)$ в эти формулы. Поскольку $\text{tg}(x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}=10$, мы можем найти $\sin (x)$ и $\cos (x)$ следующим образом:
$$\sin (x)=10\cos (x)$$
$${\sin }^2(x)=100{\cos }^2(x)$$
$${\cos }^2(x)=\frac{{\sin }^2(x)}{100}$$
$$\cos (x)=\sqrt{\frac{{\sin }^2(x)}{100}}$$

Теперь, подставляя эти значения в формулы двойного угла, получим:
$$\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)=2\cdot 10\cos (x)\cdot \sqrt{\frac{{\sin }^2(x)}{100}}=\frac{20\sin (x)\sin (x)}{10}=2{\sin }^2(x)$$
$$\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)=\frac{{\sin }^2(x)}{100}-{\sin }^2(x)=\frac{{\sin }^2(x)-100{\sin }^2(x)}{100}=-\frac{99{\sin }^2(x)}{100}$$

И, наконец, мы можем выразить ${\text{tg}}^2(2x)$ через ${\sin }^2(x)$ и ${\cos }^2(x)$:
$${\text{tg}}^2(2x)=\frac{{\sin }^2(2x)}{{\cos }^2(2x)}=\frac{4{\sin }^2(x)}{99{\sin }^2(x)}=\frac{4}{99}$$

Таким образом, значение ${\text{tg}}^2(2x)$ равно $\frac{4}{99}$.