Через какое время ускорение частицы будет направлено под углом 45 градусов к оси y, если значения коэффициентов а

Yan

61

Для решения данной задачи нужно использовать формулу для ускорения частицы в полярных координатах. Формула выглядит следующим образом:

$$a_r=\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r(\frac{d\theta }{dt}{)}^2$$
$$a_{\theta }=r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}$$

где $a_r$ и $a_{\theta }$ - компоненты ускорения частицы вдоль радиус-вектора и вдоль направления касательной к траектории соответственно, $r$ - расстояние от частицы до начала координат, $\theta$ - угол между радиус-вектором и положительным направлением оси x, $t$ - время.

В данной задаче ускорение направлено под углом 45 градусов к оси y, что означает, что $a_{\theta }=a_y$ и $a_r=a_x$. Также задано, что значения коэффициентов $a$ и $b$ равны 1.

Из формул выше можно заметить, что размерность коэффициента $a$ будет равна $единице$, поскольку она не определяется прямо из формулы. Размерность коэффициента $b$ будет равна ${\text{сек}}^{-2}$, так как в формуле для $a_r$ индексом $2$ у времени.

Теперь рассмотрим пошаговое решение задачи.

1. Запишем уравнение для проекций ускорения вдоль осей x и y:
$$a_x=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$$
$$a_y=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}$$

2. Из условия задачи следует, что $a_{\theta }=a_y$ и $a_r=a_x$. Подставим значения в формулу для проекции ускорения вдоль оси x:
$$a_r=\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r(\frac{d\theta }{dt}{)}^2$$

3. Поскольку $a_r=a_x$, получим:
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r(\frac{d\theta }{dt}{)}^2$$

4. Запишем уравнение движения для полярных координат:
$$x=r\cos (\theta )$$
$$y=r\sin (\theta )$$

5. Из этих уравнений получаем:
$$\frac{dx}{dt}=\frac{dr}{dt}\cos (\theta )-r\sin (\theta )\frac{d\theta }{dt}$$
$$\frac{dy}{dt}=\frac{dr}{dt}\sin (\theta )+r\cos (\theta )\frac{d\theta }{dt}$$

6. Разделим оба выражения на $dt$, чтобы получить производные:
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{d^{2}r}{d{t}^2}\cos (\theta )-2\frac{dr}{dt}\sin (\theta )\frac{d\theta }{dt}-r\cos (\theta )(\frac{d\theta }{dt}{)}^2$$
$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\frac{d^{2}r}{d{t}^2}\sin (\theta )+2\frac{dr}{dt}\cos (\theta )\frac{d\theta }{dt}-r\sin (\theta )(\frac{d\theta }{dt}{)}^2$$

7. Подставим полученные выражения в уравнение из пункта 3:
$$\frac{d^{2}r}{d{t}^2}\cos (\theta )-2\frac{dr}{dt}\sin (\theta )\frac{d\theta }{dt}-r\cos (\theta )(\frac{d\theta }{dt}{)}^2=\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r(\frac{d\theta }{dt}{)}^2$$

8. Упростим выражение:
$$-2\frac{dr}{dt}\sin (\theta )\frac{d\theta }{dt}=-r\cos (\theta )(\frac{d\theta }{dt}{)}^2$$

9. Разделим обе части на $-2r(\frac{d\theta }{dt}{)}^2$:
$$\frac{\frac{dr}{dt}\sin (\theta )}{r(\frac{d\theta }{dt}{)}^2}=\frac{\cos (\theta )}{2}$$

10. Подставим значения 1 для коэффициентов $a$ и $b$:
$$\frac{\frac{dr}{dt}\sin (\theta )}{r(\frac{d\theta }{dt}{)}^2}=\frac{\cos (\theta )}{2}=\frac{1}{2}$$

11. Упростим выражение:
$$\frac{\sin (\theta )}{r(\frac{d\theta }{dt}{)}^2}=\frac{1}{2}$$

12. Поскольку $\sin ({45}^{\circ })=\frac{1}{\sqrt{2}}$, получим:
$$\frac{1}{r(\frac{d\theta }{dt}{)}^2}=\frac{1}{2}$$

13. Уберем знаменатель:
$$r(\frac{d\theta }{dt}{)}^2=2$$

14. Заметим, что $r=\sqrt{x^2+y^2}$, а также $x=r\cos (\theta )$ и $y=r\sin (\theta )$:
$$(\sqrt{x^2+y^2})(\frac{d\theta }{dt}{)}^2=2$$

15. В данном случае значение коэффициентов $a$ и $b$ равно 1, поэтому получаем следующие размерности:
$$a=1$$
$$b={\text{сек}}^{-2}$$