Через какое время ускорение частицы будет направлено под углом 45 градусов к оси y, если значения коэффициентов а

Yan

61

Для решения данной задачи нужно использовать формулу для ускорения частицы в полярных координатах. Формула выглядит следующим образом:

\[a_r = \frac{d^2r}{dt^2} - r(\frac{d\theta}{dt})^2\]
\[a_{\theta} = r\frac{d^2\theta}{dt^2} + 2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\]

где \(a_r\) и \(a_{\theta}\) - компоненты ускорения частицы вдоль радиус-вектора и вдоль направления касательной к траектории соответственно, \(r\) - расстояние от частицы до начала координат, \(\theta\) - угол между радиус-вектором и положительным направлением оси x, \(t\) - время.

В данной задаче ускорение направлено под углом 45 градусов к оси y, что означает, что \(a_{\theta} = a_y\) и \(a_r = a_x\). Также задано, что значения коэффициентов \(a\) и \(b\) равны 1.

Из формул выше можно заметить, что размерность коэффициента \(a\) будет равна \(единице\), поскольку она не определяется прямо из формулы. Размерность коэффициента \(b\) будет равна \(\text{сек}^{-2}\), так как в формуле для \(a_r\) индексом \(2\) у времени.

Теперь рассмотрим пошаговое решение задачи.

1. Запишем уравнение для проекций ускорения вдоль осей x и y:
\[a_x = \frac{d^2x}{dt^2}\]
\[a_y = \frac{d^2y}{dt^2}\]

2. Из условия задачи следует, что \(a_{\theta} = a_y\) и \(a_r = a_x\). Подставим значения в формулу для проекции ускорения вдоль оси x:
\[a_r = \frac{d^2r}{dt^2} - r(\frac{d\theta}{dt})^2\]

3. Поскольку \(a_r = a_x\), получим:
\[\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d^2r}{dt^2} - r(\frac{d\theta}{dt})^2\]

4. Запишем уравнение движения для полярных координат:
\[x = r\cos(\theta)\]
\[y = r\sin(\theta)\]

5. Из этих уравнений получаем:
\[\frac{dx}{dt} = \frac{dr}{dt}\cos(\theta) - r\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\]
\[\frac{dy}{dt} = \frac{dr}{dt}\sin(\theta) + r\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt}\]

6. Разделим оба выражения на \(dt\), чтобы получить производные:
\[\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d^2r}{dt^2}\cos(\theta) - 2\frac{dr}{dt}\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt} - r\cos(\theta)(\frac{d\theta}{dt})^2\]
\[\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d^2r}{dt^2}\sin(\theta) + 2\frac{dr}{dt}\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt} - r\sin(\theta)(\frac{d\theta}{dt})^2\]

7. Подставим полученные выражения в уравнение из пункта 3:
\[\frac{d^2r}{dt^2}\cos(\theta) - 2\frac{dr}{dt}\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt} - r\cos(\theta)(\frac{d\theta}{dt})^2 = \frac{d^2r}{dt^2} - r(\frac{d\theta}{dt})^2\]

8. Упростим выражение:
\[- 2\frac{dr}{dt}\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt} = - r\cos(\theta)(\frac{d\theta}{dt})^2\]

9. Разделим обе части на \(-2r(\frac{d\theta}{dt})^2\):
\[\frac{\frac{dr}{dt}\sin(\theta)}{r(\frac{d\theta}{dt})^2} = \frac{\cos(\theta)}{2}\]

10. Подставим значения 1 для коэффициентов \(a\) и \(b\):
\[\frac{\frac{dr}{dt}\sin(\theta)}{r(\frac{d\theta}{dt})^2} = \frac{\cos(\theta)}{2} = \frac{1}{2}\]

11. Упростим выражение:
\[\frac{\sin(\theta)}{r(\frac{d\theta}{dt})^2} = \frac{1}{2}\]

12. Поскольку \(\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\), получим:
\[\frac{1}{r(\frac{d\theta}{dt})^2} = \frac{1}{2}\]

13. Уберем знаменатель:
\[r(\frac{d\theta}{dt})^2 = 2\]

14. Заметим, что \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\), а также \(x = r\cos(\theta)\) и \(y = r\sin(\theta)\):
\[(\sqrt{x^2 + y^2})(\frac{d\theta}{dt})^2 = 2\]

15. В данном случае значение коэффициентов \(a\) и \(b\) равно 1, поэтому получаем следующие размерности:
\[a = 1\]
\[b = \text{сек}^{-2}\]