Четырехугольник ABCD имеет вершины А(1;-3), В(x;-1), С(2;1) и D(1;2). Какие значения x удовлетворяют условию

Izumrudnyy_Drakon

61

Чтобы определить, какие значения x удовлетворяют условию, что диагонали ABCD взаимно перпендикулярны, нам необходимо воспользоваться свойствами перпендикулярных прямых.

Диагонали взаимно перпендикулярны, если и только если их направления являются взаимно обратными числами. Направление отрезка можно вычислить как отношение изменения координаты y к изменению координаты x на этом отрезке.

Таким образом, нам необходимо вычислить направления каждой из диагоналей ABCD и убедиться, что они образуют взаимно обратные числа.

Для начала, найдем координаты точек C и B и вычислим координаты векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\).

Координаты точки C: C(2, 1)
Координаты точки B: B(x, -1)

Теперь, чтобы вычислить координаты векторов, будем находить разницу между соответствующими координатами:
\(\overrightarrow{AC} = (2 - 1, 1 - (-3)) = (1, 4)\)
\(\overrightarrow{BD} = (x - 1, -1 - 2) = (x - 1, -3)\)

Затем, чтобы определить, перпендикулярны ли векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\), вычислим их скалярное произведение и проверим, равно ли оно нулю:
\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (1, 4) \cdot (x - 1, -3) = 1 \cdot (x - 1) + 4 \cdot (-3) = x - 1 - 12 = x - 13\)

Таким образом, условие перпендикулярности диагоналей ABCD можно записать в виде уравнения: \(x - 13 = 0\)

Чтобы найти значения x, которые удовлетворяют этому уравнению, решим его:
\(x - 13 = 0\)
\(x = 13\)

Таким образом, единственное значение x, при котором диагонали ABCD взаимно перпендикулярны, равно 13.

Проверим наше решение, подставив x = 13 в координаты точки B и вычислим вектор \(\overrightarrow{BD}\):
Координаты точки B: B(13, -1)
\(\overrightarrow{BD} = (13 - 1, -1 - 2) = (12, -3)\)

Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\):
\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (1, 4) \cdot (12, -3) = 1 \cdot 12 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0\)

Как мы видим, скалярное произведение равно нулю, что означает, что векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) перпендикулярны. Таким образом, наше решение верно.