Что нужно найти: Векторы AF, AM, AN в параллелограмме ABCD, где AF : FC = 4 : 1, BM : MC = 1 : 3, а N - середина

Алла

40

Чтобы найти векторы AF, AM и AN в параллелограмме ABCD с заданными соотношениями длин, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма и соотношениями между его сторонами.

Сначала рассмотрим вектор AF. Из условия задачи известно, что отношение длин векторов AF и FC равно 4:1. Мы можем представить вектор AF как сумму векторов AB и BF, а вектор FC как сумму векторов AB и BC:

\(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF}\)
\(\overrightarrow{FC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)

Теперь мы можем сформировать уравнение, используя известное отношение:

\(\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{FC}} = \frac{4}{1}\)

Подставив выражения для векторов AF и FC, получим:

\(\frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF}}{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}} = \frac{4}{1}\)

Нам известно, что векторы AB и BC имеют параллельную ориентацию, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма. Поэтому мы можем выразить вектор BC через вектор AB:

\(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AB}\)

Подставив это выражение в уравнение, получаем:

\(\frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF}}{\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB}} = \frac{4}{1}\)

Упрощая это уравнение, получаем:

\(\frac{\overrightarrow{BF}}{\overrightarrow{AB}} = \frac{3}{1}\)

Теперь мы можем записать вектор BF через вектор AB:

\(\overrightarrow{BF} = 3\overrightarrow{AB}\)

Таким образом, мы нашли выражение для вектора AF:

\(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AB} = 4\overrightarrow{AB}\)

Аналогичным образом мы можем найти векторы AM и AN. Известно, что отношение длин векторов BM и MC равно 1:3, а точка N является серединой \(\overrightarrow{BC}\).

Мы можем выразить вектор BM через вектор AB:

\(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)

Теперь мы можем найти вектор MC, используя тот факт, что N - середина \(\overrightarrow{BC}\):

\(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} = -\frac{5}{4}\overrightarrow{AB}\)

Наконец, вектор AN является суммой векторов AM и MN. Мы уже знаем векторы AM и MC, поэтому можем записать следующее:

\(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN}\)

Мы знаем, что вектор MN равен половине вектора BC:

\(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

Теперь, используя выражения для векторов AM и MN, мы можем записать вектор AN:

\(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

Мы уже знаем, что \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\), поэтому:

\(\overrightarrow{AN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)

Итак, итоговые выражения для векторов AF, AM и AN следующие:

\(\overrightarrow{AF} = 4\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{AN} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)

Таким образом, мы нашли векторы AF, AM и AN в параллелограмме ABCD с заданными соотношениями длин.