Что представляют собой площадь кругового сектора окружности, площадь круга и длина окружности, если длина дуги

Изумрудный_Пегас

24

Хорошо! Давайте рассмотрим каждую часть задачи по очереди.

1. Площадь кругового сектора представляет собой часть площади круга, ограниченную двумя радиусами и длиной дуги, выраженную в квадратных единицах. Для нахождения площади кругового сектора мы можем воспользоваться формулой:

\[S_{\text{сектора}} = \frac{{\theta}}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2\]

где \(S_{\text{сектора}}\) - площадь кругового сектора, \(\theta\) - центральный угол сектора (в градусах), \(\pi\) - число пи (приблизительно равно 3.14159), и \(r\) - радиус окружности.

В нашем случае, длина дуги равна 8 см, а радиус равен 5 см. Чтобы найти площадь кругового сектора, нам нужно знать центральный угол сектора (\(\theta\)). Мы можем использовать формулу:

\[\theta = \frac{{\text{длина дуги}}}{\text{длина окружности}} \cdot 360^{\circ}\]

Длина окружности выражается формулой:

\[L = 2 \cdot \pi \cdot r\]

где \(L\) - длина окружности, \(\pi\) - число пи, а \(r\) - радиус окружности.

Теперь давайте подставим значения и вычислим ответы.

Длина окружности:
\[L = 2 \cdot \pi \cdot 5 \, \text{см} = 10 \pi \, \text{см}\]

Центральный угол сектора:
\[\theta = \frac{8 \, \text{см}}{10 \pi \, \text{см}} \cdot 360^{\circ} \approx 1.277 \cdot 360^{\circ} \approx 460.79^{\circ}\]

Площадь кругового сектора:
\[S_{\text{сектора}} = \frac{{460.79^{\circ}}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot (5 \, \text{см})^2 \approx 1.279 \cdot \pi \cdot 25 \, \text{см}^2 \approx 99.16 \, \text{см}^2\]

2. Площадь круга представляет собой область, закрытую всеми точками окружности, выраженную в квадратных единицах. Для нахождения площади круга мы можем воспользоваться формулой:

\[S_{\text{круга}} = \pi \cdot r^2\]

где \(S_{\text{круга}}\) - площадь круга, \(\pi\) - число пи, а \(r\) - радиус окружности.

В нашем случае, радиус равен 5 см. Давайте подставим это значение и вычислим площадь круга:

\[S_{\text{круга}} = \pi \cdot (5 \, \text{см})^2 = 25 \pi \, \text{см}^2 \approx 78.54 \, \text{см}^2\]

3. Длина окружности представляет собой периметр (длину) окружности, выраженную в сантиметрах. Для нахождения длины окружности мы можем воспользоваться формулой:

\[L = 2 \cdot \pi \cdot r\]

где \(L\) - длина окружности, \(\pi\) - число пи, а \(r\) - радиус окружности.

В нашем случае, радиус равен 5 см. Давайте подставим это значение и вычислим длину окружности:

\[L = 2 \cdot \pi \cdot 5 \, \text{см} = 10 \pi \, \text{см} \approx 31.42 \, \text{см}\]

Итак, ответы на задачу:

Площадь кругового сектора: около 99.16 см².
Площадь круга: около 78.54 см².
Длина окружности: около 31.42 см.

Надеюсь, это решение понятно и поможет вам лучше понять эти концепции! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.