Что является результатом суммирования данного ряда: S = x - x2 /4 + x3/9 - x4/16... (с n слагаемыми)?

Taras

32

Данная задача является классическим примером ряда, который можно раскрыть и найти сумму. Давайте пошагово решим эту задачу.

1. Для начала, нам необходимо указать условие сходимости ряда. Мы можем заметить, что каждое слагаемое содержит степень \(x\) в числителе и степень базы знаменателя. Поэтому, для того чтобы ряд сошелся, основание дроби \(x\) должно быть в интервале от -1 до 1 включительно. Убедитесь, что ваше значение \(x\) лежит в этом интервале.

2. Теперь рассмотрим само разложение ряда. Мы можем заметить, что каждое слагаемое имеет общий знаменатель, а числители образуют арифметическую прогрессию с знаками, чередующимися плюс и минус.

3. Для нахождения суммы ряда, мы можем разложить каждое слагаемое на два множителя. Найдем общий множитель знаменателя и вынесем его за скобку: \(S = \frac{x}{1}\left(1 - \frac{x}{2^2} + \frac{x}{3^2} - \frac{x}{4^2} + ...\right)\).

4. Теперь у нас есть две прогрессии. Первая - это прогрессия знаков, которая чередуется между плюс и минус. Вторая - это прогрессия со знаменателями в квадрате.

5. Для удобства, перепишем нашу сумму в следующем виде: \(S = \frac{x}{1}\left(1 - \frac{x}{2^2} + \frac{x}{3^2} - \frac{x}{4^2} + ...\right) = x\left(1 - \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^2}{3^2} - \frac{x^2}{4^2} + ...\right)\).

6. Разложим каждое слагаемое разности в произведение двух множителей: \(S = x\left(1 - \frac{x^2}{2^2}\right)\left(1 + \frac{x^2}{3^2} + \frac{x^4}{2^2\cdot 3^2} + \frac{x^6}{2^2\cdot 4^2} + ...\right)\).

7. Обратим внимание на второе множество скобок. Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем \(\frac{x^2}{2^2}\). Мы можем использовать формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии, чтобы найти ее сумму: \(1 + \frac{x^2}{3^2} + \frac{x^4}{2^2\cdot 3^2} + \frac{x^6}{2^2\cdot 4^2} + ... = \frac{1}{1 - \frac{x^2}{2^2}}\).

8. Теперь, подставив наше значение из второго множителя обратно в исходное выражение, мы получаем окончательный результат: \(S = x\left(1 - \frac{x^2}{2^2}\right)\left(1 + \frac{x^2}{3^2} + \frac{x^4}{2^2\cdot 3^2} + \frac{x^6}{2^2\cdot 4^2} + ...\right) = \frac{x\left(1 - \frac{x^2}{2^2}\right)}{1 - \frac{x^2}{2^2}}\).

9. Сократим выражения в числителе и знаменателе: \(S = \frac{x - \frac{x^3}{2^2}}{1 - \frac{x^2}{2^2}}\).

Таким образом, результат суммирования данного ряда является \(\frac{x - \frac{x^3}{2^2}}{1 - \frac{x^2}{2^2}}\).