Для какой из этих двух частиц длина волны де Бройля является большей, электрона или протона?

Цикада

37

Для определения, для какой из частиц – электрона или протона – длина волны де Бройля будет больше, давайте воспользуемся формулой для расчета длины волны де Бройля:

\[
\lambda = \frac{h}{p}
\]

где \(\lambda\) – длина волны де Бройля, \(h\) – постоянная Планка, \(p\) – импульс частицы.

Известно, что импульс частицы можно выразить через массу \(m\) и скорость \(v\) следующим образом:

\[
p = mv
\]

У нас есть значения массы и скорости для электрона и протона:

Масса электрона: \(m_e = 9.1 \times 10^{-31}\) кг
Скорость электрона: \(v_e = 2.19 \times 10^6\) м/с

Масса протона: \(m_p = 1.67 \times 10^{-27}\) кг
Скорость протона: \(v_p = 2.19 \times 10^5\) м/с

Теперь можем рассчитать длины волн де Бройля для электрона и протона.

Для электрона:
\[
p_e = m_e \cdot v_e = 9.1 \times 10^{-31} \cdot 2.19 \times 10^6 = 1.99 \times 10^{-24} \, \text{кг} \cdot \text{м/с}
\]
\[
\lambda_e = \frac{h}{p_e} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.99 \times 10^{-24}} = 3.33 \times 10^{-10} \, \text{м}
\]

Для протона:
\[
p_p = m_p \cdot v_p = 1.67 \times 10^{-27} \cdot 2.19 \times 10^5 = 3.66 \times 10^{-22} \, \text{кг} \cdot \text{м/с}
\]
\[
\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.66 \times 10^{-22}} = 1.81 \times 10^{-12} \, \text{м}
\]

Таким образом, получаем, что длина волны де Бройля для электрона (\(\lambda_e = 3.33 \times 10^{-10}\) м) больше, чем для протона (\(\lambda_p = 1.81 \times 10^{-12}\) м).

Такой результат объясняется тем, что масса электрона значительно меньше массы протона, поэтому отношение длины волны де Бройля к массе обратно пропорционально: чем меньше масса частицы, тем больше ее длина волны де Бройля.