Доказать, что ∠CPR = ∠CRP

Роман

50

Решение:

Для доказательства равенства $\mathrm{\angle }CPR=\mathrm{\angle }CRP$ нам понадобится аксиома о равенстве углов.

Аксиома гласит: Если два угла имеют равные измерения, то они равны между собой.

Обозначим заданный треугольник ABC и проведем луч CP и CR.

Так как треугольник ABC - это треугольник с внешним углом $\mathrm{\angle }P$ у основания, то дополнительное утверждение гласит: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

В данном случае, внешний угол $\mathrm{\angle }P$ треугольника ABC равен сумме углов $\mathrm{\angle }C$ и $\mathrm{\angle }B$: $\mathrm{\angle }P=\mathrm{\angle }C+\mathrm{\angle }B$.

Затем проведем луч CR, который делит этот внешний угол $\mathrm{\angle }P$ на два внутренних угла: $\mathrm{\angle }CPR$ и $\mathrm{\angle }CRP$.

Теперь заметим, что треугольник CRP - это треугольник с внешним углом $\mathrm{\angle }C$ у основания. Следовательно, справедливо дополнительное утверждение: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

В данном случае, внешний угол $\mathrm{\angle }C$ треугольника CRP равен сумме углов $\mathrm{\angle }R$ и $\mathrm{\angle }P$: $\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }R+\mathrm{\angle }P$.

Теперь сравним результаты. Мы знаем, что $\mathrm{\angle }P=\mathrm{\angle }C+\mathrm{\angle }B$ и $\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }R+\mathrm{\angle }P$.

Подставим во второе равенство значение $\mathrm{\angle }P$ из первого равенства:

$\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }R+(\mathrm{\angle }C+\mathrm{\angle }B)$.

Упростим это уравнение:

$\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }R+\mathrm{\angle }C+\mathrm{\angle }B$.

Вычтем $\mathrm{\angle }C$ из обеих сторон:

$0=\mathrm{\angle }R+\mathrm{\angle }B$.

Теперь вычтем $\mathrm{\angle }R$ из обеих сторон:

$-\mathrm{\angle }R=\mathrm{\angle }B$.

И, наконец, поменяем местами обе части равенства:

$\mathrm{\angle }B=-\mathrm{\angle }R$.

Таким образом, получили равенство углов $\mathrm{\angle }B=-\mathrm{\angle }R$.

Обратите внимание, что углы, обозначенные отрицательными углами, считаются с той же стороны от луча CR, что и углы, обозначенные положительными углами. Это связано с нашим выбором направления движения по лучу CR.

Следовательно, мы доказали, что $\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }B$, исходя из аксиомы о равенстве углов.

Таким образом, $\mathrm{\angle }CPR=\mathrm{\angle }CRP$, что и требовалось доказать.