Для доказательства равенства \(\angle CPR = \angle CRP\) нам понадобится аксиома о равенстве углов.
Аксиома гласит: Если два угла имеют равные измерения, то они равны между собой.
Обозначим заданный треугольник ABC и проведем луч CP и CR.
Так как треугольник ABC - это треугольник с внешним углом \(\angle P\) у основания, то дополнительное утверждение гласит: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
В данном случае, внешний угол \(\angle P\) треугольника ABC равен сумме углов \(\angle C\) и \(\angle B\): \(\angle P = \angle C + \angle B\).
Затем проведем луч CR, который делит этот внешний угол \(\angle P\) на два внутренних угла: \(\angle CPR\) и \(\angle CRP\).
Теперь заметим, что треугольник CRP - это треугольник с внешним углом \(\angle C\) у основания. Следовательно, справедливо дополнительное утверждение: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
В данном случае, внешний угол \(\angle C\) треугольника CRP равен сумме углов \(\angle R\) и \(\angle P\): \(\angle C = \angle R + \angle P\).
Теперь сравним результаты. Мы знаем, что \(\angle P = \angle C + \angle B\) и \(\angle C = \angle R + \angle P\).
Подставим во второе равенство значение \(\angle P\) из первого равенства:
\(\angle C = \angle R + (\angle C + \angle B)\).
Упростим это уравнение:
\(\angle C = \angle R + \angle C + \angle B\).
Вычтем \(\angle C\) из обеих сторон:
\(0 = \angle R + \angle B\).
Теперь вычтем \(\angle R\) из обеих сторон:
\(-\angle R = \angle B\).
И, наконец, поменяем местами обе части равенства:
\(\angle B = -\angle R\).
Таким образом, получили равенство углов \(\angle B = -\angle R\).
Обратите внимание, что углы, обозначенные отрицательными углами, считаются с той же стороны от луча CR, что и углы, обозначенные положительными углами. Это связано с нашим выбором направления движения по лучу CR.
Следовательно, мы доказали, что \(\angle C = \angle B\), исходя из аксиомы о равенстве углов.
Таким образом, \(\angle CPR = \angle CRP\), что и требовалось доказать.
Роман 50
Решение:Для доказательства равенства \(\angle CPR = \angle CRP\) нам понадобится аксиома о равенстве углов.
Аксиома гласит: Если два угла имеют равные измерения, то они равны между собой.
Обозначим заданный треугольник ABC и проведем луч CP и CR.
Так как треугольник ABC - это треугольник с внешним углом \(\angle P\) у основания, то дополнительное утверждение гласит: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
В данном случае, внешний угол \(\angle P\) треугольника ABC равен сумме углов \(\angle C\) и \(\angle B\): \(\angle P = \angle C + \angle B\).
Затем проведем луч CR, который делит этот внешний угол \(\angle P\) на два внутренних угла: \(\angle CPR\) и \(\angle CRP\).
Теперь заметим, что треугольник CRP - это треугольник с внешним углом \(\angle C\) у основания. Следовательно, справедливо дополнительное утверждение: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
В данном случае, внешний угол \(\angle C\) треугольника CRP равен сумме углов \(\angle R\) и \(\angle P\): \(\angle C = \angle R + \angle P\).
Теперь сравним результаты. Мы знаем, что \(\angle P = \angle C + \angle B\) и \(\angle C = \angle R + \angle P\).
Подставим во второе равенство значение \(\angle P\) из первого равенства:
\(\angle C = \angle R + (\angle C + \angle B)\).
Упростим это уравнение:
\(\angle C = \angle R + \angle C + \angle B\).
Вычтем \(\angle C\) из обеих сторон:
\(0 = \angle R + \angle B\).
Теперь вычтем \(\angle R\) из обеих сторон:
\(-\angle R = \angle B\).
И, наконец, поменяем местами обе части равенства:
\(\angle B = -\angle R\).
Таким образом, получили равенство углов \(\angle B = -\angle R\).
Обратите внимание, что углы, обозначенные отрицательными углами, считаются с той же стороны от луча CR, что и углы, обозначенные положительными углами. Это связано с нашим выбором направления движения по лучу CR.
Следовательно, мы доказали, что \(\angle C = \angle B\), исходя из аксиомы о равенстве углов.
Таким образом, \(\angle CPR = \angle CRP\), что и требовалось доказать.