Доказательство: Пусть a и b - два натуральных числа, такие что a/b < 1. Нам нужно доказать, что дробь 3a/a+2b > дроби

Золотой_Лист

17

Чтобы доказать неравенство \( \frac{3a}{a+2b} > \frac{a}{b} \), мы можем воспользоваться сравнением числителей и знаменателей. Для начала, заметим, что оба числа положительны, так как \( a \) и \( b \) — натуральные числа.

Поделим оба числа на \( a \), чтобы упростить выражение. Получим:

\[ \frac{3a}{a+2b} > \frac{a}{b} \]
\[ \frac{3}{1 + \frac{2b}{a}} > \frac{1}{b} \]

Теперь мы видим, что нам нужно сравнить дроби \( \frac{3}{1 + \frac{2b}{a}} \) и \( \frac{1}{b} \).

Для начала, заметим, что числители обеих дробей положительны. Поэтому, чтобы сравнить их, мы можем сравнить знаменатели.

Заметим, что \( 1 + \frac{2b}{a} > 1 \), так как \( \frac{2b}{a} > 0 \).

Из этого следует, что \( \frac{3}{1 + \frac{2b}{a}} < \frac{3}{1} = 3 \).

Также, мы знаем, что \( \frac{1}{b} < 1 \), так как \( b \) больше единицы.

Получили, что \( \frac{3}{1 + \frac{2b}{a}} < 3 \) и \( \frac{1}{b} < 1 \).

Таким образом, мы доказали, что \( \frac{3}{a+2b} > \frac{1}{b} \), что и требовалось доказать.