Докажите, что если A, B и C не коллинеарны, то точка пересечения окружностей с диаметрами AB и BC, которая не совпадает
Докажите, что если A, B и C не коллинеарны, то точка пересечения окружностей с диаметрами AB и BC, которая не совпадает с точкой B, лежит на общей прямой.
Kosmos_4056 26
Для доказательства этого факта, нам понадобится использовать две теоремы: теорему о центральном угле и теорему о прямом угле.Теорема о центральном угле: Центральный угол, формируемый двумя хордами, равен половине угла, соответствующего дуге между этими хордами.
Теорема о прямом угле: Если хорда проходит через центр окружности, то она является диаметром окружности.
Доказательство:
1. Пусть \(O\) обозначает центр окружности, диаметрами которой являются отрезки \(AB\) и \(BC\). Поскольку эти отрезки не коллинеарны, они формируют угол на точке \(B\).
2. Пусть \(D\) будет точкой пересечения окружности с диаметром \(AB\) и окружности с диаметром \(BC\), отличной от точки \(B\).
3. Рассмотрим треугольник \(OBD\). Угол \(ODB\) является центральным углом, формируемым двумя хордами \(OD\) и \(BD\).
4. Поскольку \(OD\) является диаметром окружности, угол \(ODB\) будет прямым углом.
5. Подобным образом, мы можем рассмотреть треугольник \(OBD\) и угол \(ODC\), которая также будет прямым углом.
6. Из пунктов 4 и 5 следует, что угол \(ODC\) и угол \(ODB\) равны.
7. Из теоремы о центральном угле мы знаем, что угол, формируемый двумя хордами, равен половине угла, соответствующего дуге между этими хордами.
8. Дуга между хордами \(AB\) и \(BC\) является половиной окружности, так как эти хорды являются диаметрами.
9. Следовательно, угол \(ODC\) и угол \(ODB\) равны половине 180 градусов, то есть 90 градусов.
10. Таким образом, мы доказали, что точка \(D\) лежит на общей прямой через \(O\), перпендикулярной отрезку \(AB\), и проходящей через точку \(C\).
Таким образом, если точки \(A\), \(B\) и \(C\) не коллинеарны, точка пересечения окружностей с диаметрами \(AB\) и \(BC\), отличная от точки \(B\), лежит на общей прямой.