Докажите, что каждый угол, который образуется сторонами и диагоналями 180°регулярного n-угольника, кратен 180°/n

Yupiter

41

Хорошо, чтобы доказать данное утверждение, мы воспользуемся свойствами регулярных многоугольников и некоторой геометрической арифметикой.

Рассмотрим регулярный n-угольник. У него n сторон и n диагоналей, соединяющих вершины. Пусть A и B обозначают две произвольные вершины этого n-угольника, а O - его центр.

Тогда диагонали многоугольника могут быть разделены на две категории:
1) Диагонали, проходящие через центр O. Всего таких диагоналей n.
2) Диагонали, не проходящие через центр O. Всего таких диагоналей n(n-3)/2.

Теперь рассмотрим угол между сторонами и диагональю, образованной соединением вершин A и B. Обозначим этот угол как ∠AOB (угол АОВ и угол ВОВ являются одинаковыми, поскольку многоугольник регулярный).

Из геометрических свойств регулярного многоугольника мы знаем, что центр O и вершины A, B и O образуют равносторонний треугольник. Значит, угол ∠AOB равен 60 градусам.

Теперь давайте рассмотрим общий случай. Как мы уже обсудили, у нас есть n диагоналей, проходящих через центр O, и n(n-3)/2 диагоналей, не проходящих через центр O. Каждая из этих диагоналей создаёт угол 60 градусов с соответствующей стороной.

Таким образом, общее количество диагоналей можно представить как сумму двух частей:
1) n диагоналей, создающих углы по 60 градусов каждая
2) n(n-3)/2 диагоналей, создающих углы по 60 градусов каждая

Общее количество диагоналей равно:
n + n(n-3)/2 = n + n^2/2 - 3n/2 = n^2/2 - n/2 = (n^2 - n)/2

Каждая диагональ создаёт угол 60 градусов, а каждый угол требует суммы 180 градусов. Поэтому, чтобы каждый угол, образованный сторонами и диагоналями n-угольника, был кратен 180°/n, необходимо, чтобы общее количество углов было кратно n:

(n^2 - n)/2 кратно n.

Теперь давайте докажем, что выражение (n^2 - n)/2 будет кратно n для любого целого n.

Мы можем заметить, что (n^2 - n)/2 можно записать как n(n-1)/2.

Теперь рассмотрим два возможных случая:
1) Если n чётное, то это значит, что n-1 тоже чётное. Тогда n/2 и (n-1)/2 оба будут целыми числами. Значит, (n^2 - n)/2 равно произведению двух целых чисел (n/2) и (n-1)/2 и будет кратно n.
2) Если n нечётное, то это значит, что n-1 чётное. Тогда (n-1)/2 будет целым числом. Таким образом, произведение (n/2) и (n-1)/2 будет делиться на n и (n^2 - n)/2 будет кратно n.

Таким образом, мы доказали, что каждый угол, образованный сторонами и диагоналями 180° регулярного n-угольника, кратен 180°/n.