Докажите, что окружность, описанная вокруг правильного 2n-угольника, имеет меньший периметр, чем окружность, описанная

Vodopad

58

Чтобы доказать, что окружность, описанная вокруг правильного 2n-угольника, имеет меньший периметр, чем окружность, описанная вокруг правильного n-угольника, давайте рассмотрим оба случая подробно.

Первый случай: правильный 2n-угольник

Пусть R1 - радиус окружности, описанной вокруг правильного 2n-угольника.
Длина стороны правильного 2n-угольника равна a.
Также, угол, образованный смежными сторонами правильного 2n-угольника, равен 360/(2n), так как внешний угол в таком многоугольнике всегда равен 360 градусов.
Тогда длина дуги 2n равна 2πR1 * (360/(2n))/360 = πR1/n.

Периметр окружности, описанной вокруг правильного 2n-угольника, выражается следующим образом:
P1 = 2πR1.

Второй случай: правильный n-угольник

Пусть R2 - радиус окружности, описанной вокруг правильного n-угольника.
Длина стороны правильного n-угольника также равна a, но угол, образованный смежными сторонами правильного n-угольника, равен 360/n.
Тогда длина дуги n равна 2πR2 * (360/n)/360 = πR2/n.

Периметр окружности, описанной вокруг правильного n-угольника, выражается следующим образом:
P2 = 2πR2.

Теперь давайте сравним периметры этих окружностей:

P1 - P2 = 2πR1 - 2πR2 = 2π(R1 - R2).

Чтобы доказать, что окружность, описанная вокруг правильного 2n-угольника, имеет меньший периметр, чем окружность, описанная вокруг правильного n-угольника, необходимо доказать, что выражение P1 - P2 меньше нуля.

Поскольку R1 - R2 является положительным числом (радиус окружности 2n-угольника больше радиуса окружности n-угольника), и π - постоянное положительное число, то выражение P1 - P2 всегда будет отрицательным. Таким образом, это доказывает, что окружность, описанная вокруг правильного 2n-угольника, имеет меньший периметр, чем окружность, описанная вокруг правильного n-угольника.

Доказательство завершено.