Докажите, что Окружность, проходящая через точки P и Q, пересекает прямую

Zvezdnaya_Noch

27

Для начала, давайте разберемся с основными понятиями и определениями, чтобы понять условие задачи.

Окружность - это геометрическое множество точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой центром окружности.

Прямая - это геометрическое множество точек на плоскости, которые лежат на одной прямой линии и не отклоняются от нее.

Теперь перейдем к решению задачи. У нас есть окружность, проходящая через точки P и Q, и прямая. Нам необходимо доказать, что эти две фигуры пересекаются.

Для доказательства этого факта нам понадобится использовать следующее утверждение из геометрии:

Если окружность пересекает прямую в двух разных точках, то эти две точки делят прямую на два отрезка, такие, что произведение длин этих отрезков равно квадрату радиуса окружности.

По условию, окружность проходит через точки P и Q. Значит, она пересекает прямую в этих двух точках. Обозначим эти точки как A и B, где A - точка P, а B - точка Q.

Для доказательства, припишем нашей окружности центр и радиус. Пусть O - центр окружности, а r - радиус окружности. Тогда, согласно нашему утверждению, произведение длин отрезков AP и PB равно квадрату радиуса окружности:

\[AP \cdot PB = r^2\]

Теперь нам нужно доказать, что это утверждение справедливо для наших точек A и B. Рассмотрим треугольники OPA и OPB.

В этих треугольниках сторона OP общая, поскольку она является радиусом окружности, проходящей через точки P и Q. Угол POA равен углу POB, так как они являются соответственными углами, образованными пересечением окружности и прямой OPA.

Теперь применим теорему синусов в треугольниках OPA и OPB. Она гласит:

\[\frac{AP}{\sin \angle POA} = \frac{OP}{\sin \angle AOP}\]
\[\frac{PB}{\sin \angle POB} = \frac{OP}{\sin \angle BOP}\]

Учитывая, что углы POA и POB равны, можно упростить выражение:

\[\frac{AP}{\sin \angle AOP} = \frac{PB}{\sin \angle BOP}\]

Кроме того, углы AOP и BOP являются вертикальными углами и, следовательно, равными:

\[\frac{AP}{\sin \angle AOP} = \frac{PB}{\sin \angle AOP}\]

Теперь, используя исходное утверждение произведения отрезков, заменим длины отрезков на соответствующие отношения сторон в треугольнике:

\[\frac{AP}{\sin \angle AOP} \cdot \frac{PB}{\sin \angle AOP} = r^2\]

Упростим выражение:

\[\frac{AP \cdot PB} {\sin \angle AOP \cdot \sin \angle AOP} = r^2\]
\[\frac{AP \cdot PB} {\sin^2 \angle AOP} = r^2\]

Таким образом, мы доказали, что произведение длин отрезков AP и PB равно квадрату радиуса окружности:

\[AP \cdot PB = r^2\]

Следовательно, наша окружность, проходящая через точки P и Q, пересекает прямую.

Это доказывает, что окружность и прямая пересекаются в двух точках.