Докажите, что среди данных шести точек на плоскости, из которых каждые две соединены отрезком красного или синего

Boris

26

Чтобы решить данную задачу, воспользуемся принципом Дирихле, также известным как принцип ящика и шаров. Он гласит, что если \(n+1\) объектов размещаются в \(n\) контейнерах, то хотя бы в одном из контейнеров будет находиться не менее двух объектов.

В нашем случае, у нас есть 6 точек, которые соединены отрезками красного или синего цвета. Рассмотрим, как это можно представить на плоскости. Пусть каждая точка представляет собой вершину, а отрезки между ними - ребра графа. За красный цвет будем обозначать один вид ребра, а за синий - другой вид.

Если все шесть отрезков одного цвета, то можем построить треугольник с одноцветными сторонами. В противном случае, у нас по крайней мере три ребра одного цвета и, следуя принципу Дирихле, найдется треугольник с одноцветными сторонами.

Таким образом, доказано, что среди данных шести точек на плоскости обязательно существует треугольник, у которого все стороны одинакового цвета.
Формальное доказательство данной задачи называется теоремой Рамсея и требует применения более сложных математических инструментов.