Докажите, что сумма сторон AD и BC равна стороне AB в выпуклом четырехугольнике ABCD, где стороны AB и CD параллельны

Илья

4

Для доказательства равенства суммы сторон AD и BC стороне AB в выпуклом четырехугольнике ABCD, где стороны AB и CD параллельны, а диагонали AC и BD перпендикулярны, давайте воспользуемся некоторыми свойствами параллелограмма.

Первое свойство, которым мы воспользуемся, это то, что в параллелограмме противоположные стороны равны. В данном случае сторона AB и сторона CD являются противоположными сторонами параллелограмма ABCD. Таким образом, мы имеем AB = CD.

Второе свойство, которое поможет нам в доказательстве, гласит: в параллелограмме диагонали делят друг друга пополам. Таким образом, диагонали AC и BD делятся пополам, и мы получаем AC = BD.

Теперь давайте приступим к доказательству равенства суммы сторон AD и BC стороне AB.

Мы знаем, что AC и BD перпендикулярны, поэтому у них есть общая точка пересечения, которую обозначим как точку E. Заметим, что поскольку AC и BD делятся пополам, то AE = EC и BE = ED.

Рассмотрим треугольники AED и BEC. У нас есть две пары равных сторон: AE = EC и BE = ED, и сторона AD, которую нужно доказать равной BC.

Согласно свойству равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУП), если два треугольника имеют две пары равных сторон и равный угол между этими сторонами, то они равны.

Таким образом, поскольку треугольники AED и BEC имеют две пары равных сторон (AE = EC и BE = ED) и общий вертикальный угол в точке E, мы можем заключить, что эти треугольники равны.

Следовательно, длина стороны AD равна длине стороны BC: AD = BC.

Используя предыдущее свойство параллелограмма, AB = CD, мы можем сделать вывод, что

AD + BC = BC + BC = AB.

Таким образом, сумма сторон AD и BC равна стороне AB в выпуклом четырехугольнике ABCD при условии, что стороны AB и CD параллельны, а диагонали AC и BD перпендикулярны.