Докажите, что закон сохранения энергии согласуется с выводом из второго закона Кеплера, который утверждает, что планета

Николаевна_3629

9

Для начала, давайте разберемся с понятием закона сохранения энергии и второго закона Кеплера.

Закон сохранения энергии утверждает, что полная энергия замкнутой системы остается постоянной со временем, если на нее не действуют внешние силы. Полная энергия состоит из кинетической и потенциальной энергии.

Второй закон Кеплера, также известный как закон равных площадей, гласит, что радиус-вектор (линия, соединяющая Солнце и планету) всегда заметает равные площади за равные промежутки времени. Это означает, что планеты движутся со скоростью, такой что, скорость максимальна на более близком расстоянии от Солнца и минимальна на более дальнем расстоянии.

Теперь приступим к доказательству того, что закон сохранения энергии согласуется с выводом из второго закона Кеплера. Для этого рассмотрим планету, движущуюся по эллиптической орбите вокруг Солнца.

По определению эллипса, сумма расстояний от фокуса (Солнца) до любой точки на орбите планеты всегда остается постоянной величиной. То есть, если обозначить одно расстояние как \(r_1\) и другое расстояние как \(r_2\), то \(r_1 + r_2\) всегда равно const.

Это позволяет нам записать закон сохранения энергии для данной системы. Полная энергия планеты в данной точке орбиты равна сумме кинетической энергии и потенциальной энергии:

\[E = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{GMm}{r}\]

где \(m\) - масса планеты, \(v\) - скорость планеты, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Солнца, \(r\) - расстояние от Солнца до планеты.

Мы также можем записать кинетическую энергию через линейную скорость \(v\) и радиус-вектор \(r\):

\[E = \frac{1}{2} m \left(\frac{{\Delta s}}{{\Delta t}}\right)^2 - \frac{GMm}{r}\]

где \(\Delta s\) - длина пути планеты за время \(\Delta t\).

Учитывая, что площадь, охватываемая радиус-вектором за единицу времени, равна \(\Delta s\), мы можем переписать кинетическую энергию в следующем виде:

\[E = \frac{1}{2} m \left(\frac{{\Delta s}}{{\Delta t}}\right)^2 - \frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}mr^2\left(\frac{2}{\Delta t}\right)^2 - \frac{GMm}{r}\]

Затем мы знаем, что площадь, охватываемая радиус-вектором, равна \(A = \frac{1}{2}r^2\frac{{\Delta t}}{{\Delta t}}\). Подставим это значение:

\[E = \frac{1}{2}m\left[\left(\frac{{2A}}{{\Delta t}}\right)^2 - \frac{{4GM}}{{2A}}\right]\]

Упростим и получим:

\[E = \frac{1}{2}m\left[\left(\frac{{4A^2}}{{\Delta t^2}}\right) - 2GM\frac{1}{A}\right]\]

Теперь воспользуемся вторым законом Кеплера: равенство заметаемой планетой площади \(A\) за некоторое время \(\Delta t\). Используя это, мы можем записать \(A = \frac{1}{2}rb\), где \(b\) - длина орбиты планеты.

Подставим это в наше уравнение:

\[E = \frac{1}{2}m\left[\left(\frac{{4\left(\frac{1}{2}rb\right)^2}}{{\Delta t^2}}\right) - 2GM\frac{1}{\frac{1}{2}rb}\right]\]

Упростим и получим:

\[E = \frac{1}{2}m\left[\frac{4r^2b^2}{\Delta t^2} - 4GM\frac{1}{rb}\right]\]

Используем закон сохранения энергии \(E = const\), а значит, энергия не меняется на протяжении всего движения планеты по орбите:

\[\frac{1}{2}m\left[\frac{4r^2b^2}{\Delta t^2} - 4GM\frac{1}{rb}\right] = const\]

Упростим это уравнение, заметив, что \(4m\) и \(4G\) являются постоянными, и вынесем их за скобки:

\[\frac{r^2b^2}{\Delta t^2} - GM\frac{1}{rb} = const\]

Теперь посмотрим на отдельные слагаемые. Первое - квадрат радиуса \(r\), умноженный на квадрат \(b\). Это площадь орбиты планеты, а второе слагаемое - произведение гравитационной постоянной \(G\) и массы Солнца \(M\), деленное на радиус \(r\).

Мы можем заметить, что первое слагаемое равно площади орбиты планеты, а второе слагаемое равно квадрату амплитуды скорости планеты (в соответствии с вторым законом Кеплера). Таким образом, площадь орбиты планеты пропорциональна квадрату амплитуды ее скорости:

\[A^2 = r^2 b^2 = const\]

Таким образом, мы доказали, что закон сохранения энергии согласуется с выводом из второго закона Кеплера, который утверждает, что планета имеет максимальную скорость на самом близком расстоянии от Солнца и минимальную на самом большом расстоянии в своей орбите.