Докажите эквивалентность двух предоставленных формул: u = (x implies y) or (x implies z), b = (x implies y

Тигресса

11

Чтобы доказать эквивалентность двух формул \(u\) и \(b\), мы должны показать, что они ведут себя одинаково в любых условиях.

Для начала, давайте рассмотрим формулу \(u\). Она состоит из двух частей, разделенных операцией "или". В первой части мы имеем условие "если \(x\) влечет \(y\)", а во второй части - "если \(x\) влечет \(z\)".

Предположим, что \(x\) истинно. Тогда, чтобы формула \(u\) была истинной, одно из условий должно быть истинным. Если \(y\) истинно, то первое условие будет истинным, и формула \(u\) будет истинной. Если \(z\) истинно, то второе условие будет истинным, и формула \(u\) тоже будет истинной. Таким образом, в данном случае формула \(u\) будет истинной, если \(y\) или \(z\) истинно.

Но что произойдет, если \(x\) ложно? В этом случае условия "если \(x\) влечет \(y\)" и "если \(x\) влечет \(z\)" оказываются неопределенными. Поскольку внутри этих условий мы не можем установить, истинны ли \(y\) и \(z\) в данной ситуации, мы не можем быть уверены в истинности формулы \(u\).

Теперь давайте рассмотрим формулу \(b\). Она тоже состоит из двух частей, разделенных операцией "или". В первой части у нас также условие "если \(x\) влечет \(y\)", а во второй части - непосредственно \(y\).

Если \(x\) истинно, то если \(y\) истинно, то и первая часть формулы \(b\) будет истинной, и вся формула \(b\) будет истинной. Если \(y\) ложно, то первая часть формулы \(b\) будет ложной, но вторая часть формулы \(b\) (само \(y\)) будет ложной, и вся формула \(b\) будет ложной. В обоих случаях, если \(x\) истинно, формула \(b\) будет соответствовать условию.

Если \(x\) ложно, то первая часть формулы \(b\) будет неопределенной, но вторая часть формулы \(b\) (само \(y\)) также будет ложной. Таким образом, если \(x\) ложно, формула \(b\) будет соответствовать условию.

Итак, мы видим, что формулы \(u\) и \(b\) эквивалентны, так как обе формулы дают одинаковые значения во всех возможных случаях. Обе формулы будут истинными, если \(x\) истинно, а \(y\) или \(z\) истинны. Обе формулы будут ложными, если \(x\) ложно и \(y\) ложно.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, почему формулы \(u\) и \(b\) эквивалентны.