Докажите равенство углов ∠PAR и ∠RBP, если на рисунке 87 AP = BR и AR

Сквозь_Пыль

43

Для доказательства равенства углов \(\angle PAR\) и \(\angle RBP\) нам потребуются некоторые сведения о треугольниках.

Исходя из условия, у нас есть информация о длине отрезков: \(AP = BR\) и \(AR\) (пока неизвестная длина).

Для начала рассмотрим треугольникы \(\bigtriangleup PAR\) и \(\bigtriangleup RBP\). У них есть одна общая сторона \(AR\), а также сторона \(AP\), равная стороне \(BR\).

Из условия равности длин этих сторон следует, что \(\bigtriangleup PAR\) и \(\bigtriangleup RBP\) - равнобедренные треугольники.

В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, также равны. Поэтому, у нас есть:

\(\angle PAR = \angle APR\) (1) и \(\angle RBP = \angle BRP\) (2).

Также, у нас есть факт о сумме углов треугольника, согласно которому сумма всех углов треугольника равна 180°.

В треугольнике \(\bigtriangleup PAR\) сумма углов равна \(180°\):

\(\angle PAR + \angle APR + \angle PRA = 180°\) (3).

Так как у нас \( \angle PAR = \angle APR\) (по (1)), мы можем заменить один из углов:

\(\angle APR + \angle APR + \angle PRA = 180°\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник \(\bigtriangleup RBP\) и его сумму углов:

\(\angle RBP + \angle BRP + \angle PBR = 180°\) (4).

Так как у нас \(\angle RBP = \angle BRP\) (по (2)), мы можем заменить один из углов:

\(\angle BRP + \angle BRP + \angle PBR = 180°\).

Мы видим, что в (3) и (4) у нас есть один и тот же выражение \(\angle APR + \angle PRA\) и \(\angle BRP + \angle PBR\) соответственно.

Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что:

\(\angle PAR + \angle APR + \angle PRA = \angle RBP + \angle BRP + \angle PBR\).

Теперь вычтем общий угол \(\angle PBR\) слева и справа:

\(\angle PAR + \angle APR + \angle PRA - \angle PBR = \angle RBP + \angle BRP + \angle PBR - \angle PBR\).

Очевидно, что \(\angle PBR - \angle PBR = 0°\), и мы получаем:

\(\angle PAR + \angle APR + \angle PRA - \angle PBR = \angle RBP + \angle BRP\).

Но сумма углов треугольника составляет 180°. Таким образом:

\(\angle PAR + \angle APR + \angle PRA - \angle PBR = \angle RBP + \angle BRP = 180°\).

Так как угол \(\angle PAR\) и \(\angle PRA\) входят в правую часть равенства (т.к. мы их вычли), мы можем записать:

\(\angle PAR = \angle RBP\).

Таким образом, мы доказали равенство углов \(\angle PAR\) и \(\angle RBP\), используя сведения о равенстве сторон и правила треугольника.