Докажите следующие утверждения для заданного параллелепипеда: 1. Вектор AD + вектор BC = -(вектор CB + вектор BA

Магнитный_Магистр

1

Давайте рассмотрим каждое утверждение по очереди и докажем их для заданного параллелепипеда.

1. Для доказательства первого утверждения, нам необходимо использовать определение векторов и арифметику векторов. Параллелепипед имеет три основы ABCD, A1B1C1D1, где A, B, C, D - вершины основы ABCD, а A1, B1, C1, D1 - вершины основы A1B1C1D1.

Вектор AD обозначает вектор, направленный от вершины A к вершине D, и вектор BC обозначает вектор, направленный от вершины B к вершине C. Вектор CB обозначает вектор, направленный от вершины C к вершине B, и вектор BA обозначает вектор, направленный от вершины B к вершине A.

Используя арифметику векторов, мы можем записать:
Вектор AD + вектор BC = Вектор AB + Вектор BD + Вектор BC = Вектор AB + (Вектор BD + Вектор BC).

Теперь, рассмотрим вектор CB + вектор BA:
Вектор CB + вектор BA = Вектор CB + (-Вектор AB) = Вектор CB - Вектор AB.

Из предыдущего уравнения Вектор CB - Вектор AB = Вектор BC + Вектор BD.

Таким образом, мы получили, что Вектор AD + Вектор BC = -(Вектор CB + Вектор BA). Утверждение доказано.

2. Второе утверждение утверждает, что Вектор AA1 + Вектор AC = Вектор AC + Вектор CC1.

Рассмотрим это утверждение. Вектор AA1 обозначает вектор, направленный от вершины A к вершине A1, а вектор AC обозначает вектор, направленный от вершины A к вершине C. Вектор CC1 обозначает вектор, направленный от вершины C к вершине C1.

Используя арифметику векторов, мы можем записать:
Вектор AA1 + Вектор AC = Вектор AA1 + Вектор AC + Вектор AC = Вектор AA1 + 2 * Вектор AC.

С другой стороны,
Вектор AC + Вектор CC1 = Вектор AC + Вектор CC1 + Вектор AC = 2 * Вектор AC + Вектор CC1.

Таким образом, мы получили, что Вектор AA1 + Вектор AC = Вектор AC + Вектор CC1. Утверждение доказано.

3. Третье утверждение утверждает, что Вектор A1A + Вектор AC + Вектор CC1 = Вектор A1D1 + Вектор D1C1.

Рассмотрим данное утверждение. Вектор A1A обозначает вектор, направленный от вершины A1 к вершине A, вектор AC обозначает вектор, направленный от вершины A к вершине C, а вектор CC1 обозначает вектор, направленный от вершины C к вершине C1. Вектор A1D1 обозначает вектор, направленный от вершины A1 к вершине D1, вектор D1C1 обозначает вектор, направленный от вершины D1 к вершине C1.

Используя арифметику векторов, мы можем записать:
Вектор A1A + Вектор AC + Вектор CC1 = Вектор A1A + Вектор AC + Вектор CC1 + Вектор AC = Вектор A1A + 2 * Вектор AC + Вектор CC1.

С другой стороны,
Вектор A1D1 + Вектор D1C1 = Вектор A1D1 + Вектор D1C1 + Вектор AC = Вектор A1D1 + Вектор D1C1 + Вектор AC + Вектор AC = Вектор A1D1 + Вектор D1C1 + 2 * Вектор AC.

Таким образом, мы получили, что Вектор A1A + Вектор AC + Вектор CC1 = Вектор A1D1 + Вектор D1C1. Утверждение доказано.

Таким образом, все утверждения доказаны для заданного параллелепипеда.