Дуга AB будет иметь меньше 180 градусов. На этой дуге находится точка M. Прямая, которая касается окружности в точке

Vechnaya_Mechta

68

других точек касания с окружностью в точках C и D. Необходимо доказать, что точки C, M и D лежат на одной прямой.

Для начала, давайте обратимся к свойству касательной к окружности, которая гласит, что касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному через эту точку.

Посмотрим на треугольники MCB и MDA. Радиусы AB и AM являются общими сторонами этих треугольников, а CM и DM - это касательные к окружности в точках C и D соответственно.

Так как CM перпендикулярна радиусу AB, то угол ACM является прямым углом (так как прямой угол - это угол, который равен 90 градусам). Аналогично, угол ADM также является прямым углом.

Теперь мы знаем, что углы ACM и ADM являются прямыми углами. Также, нам известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Воспользуемся этими фактами и рассмотрим сумму углов треугольника MCM+MCD+DCM. Угол MCM - это сумма углов MCA и ACM, а угол MCD - это сумма углов MDA и ADM. Используя свойство, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, мы можем записать следующее:

MCM + MCD + DCM = (MCA + ACM) + (MDA + ADM) + DCM
= (MCA + ACM + MDA + ADM) + DCM
= (ACM + ADM) + DCM

Теперь, заметим, что (ACM + ADM) это сумма углов треугольника ACM+MCD+MDA, поэтому:

(ACM + ADM) + DCM = 180 градусов + DCM
= 180 градусов

Таким образом, мы доказали, что сумма углов треугольника MCM+MCD+DCM равна 180 градусам. Из этого следует, что точки C, M и D лежат на одной прямой.

Это доказывает факт, что прямая, касающаяся окружности в точке M и пересекающая касательные в точках C и D, проходит через все три точки.