Если мы знаем, что x^2+x+1=0, то что значит x^2018+1/x^2018?

Paryaschaya_Feya

47

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся методом математической индукции и найдем общий вид выражения \(x^n + \frac{1}{x^n}\), где \(n\) - натуральное число.

Найдем первые несколько значений этого выражения и составим ряд значений для \(n = 1, 2, 3, ...\):

\(x^1 + \frac{1}{x^1} = x + \frac{1}{x}\)

\(x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})(x + \frac{1}{x}) - 2 = (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}) - 2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 - 2 = x^2 + \frac{1}{x^2}\)

\(x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (x + \frac{1}{x}) = (x^3 + \frac{1}{x^3} + x + \frac{1}{x}) - (x + \frac{1}{x}) = x^3 + \frac{1}{x^3}\)

\(...\)

Мы видим, что при каждом последующем \(n\) значение выражения \(x^n + \frac{1}{x^n}\) равно \(x^n + \frac{1}{x^n}\).

Теперь, вернемся к исходному уравнению \(x^2 + x + 1 = 0\). Приведем его в более удобный вид.

\(x^2 + x = -1\)

Умножим обе части уравнения на \(x\):

\(x^3 + x^2 = -x\)

Теперь добавим \(\frac{1}{x}\) к обеим частям:

\(x^3 + x^2 + \frac{1}{x} = -x + \frac{1}{x}\)

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой значение \(x^3 + \frac{1}{x^3}\), которое мы нашли при решении предыдущей задачи.

Поэтому, \(x^3 + \frac{1}{x^3} = -x + \frac{1}{x}\).

Подставим это в выражение \(x^{2018} + \frac{1}{x^{2018}}\):

\(x^{2018} + \frac{1}{x^{2018}} = (x^3 + \frac{1}{x^3})^{672} = (-x + \frac{1}{x})^{672}\)

Теперь мы получили искомое выражение, которое сводится к вычислению \(672\) степени выражения \(-x + \frac{1}{x}\).

Обоснование этого сводится к нахождению закономерности значений \(x^n + \frac{1}{x^n}\) и замечанию, что в каждом случае \(x^n + \frac{1}{x^n}\) равняется \(x^n + \frac{1}{x^n}\).

Для более подробного решения степени \(-x + \frac{1}{x}\), можно применить бином Ньютона, который представляет себя следующим образом:

\((-x + \frac{1}{x})^{672} = C_{672}^0(-x)^{672}(\frac{1}{x})^0 + C_{672}^1(-x)^{671}(\frac{1}{x})^1 + C_{672}^2(-x)^{670}(\frac{1}{x})^2 + ... + C_{672}^{671}(-x)^1(\frac{1}{x})^{671} + C_{672}^{672}(-x)^0(\frac{1}{x})^{672}\)

Распишем эту формулу, заметим, что каждый член кроме последнего равен нулю: достигается сокращение слагаемых, содержащих степени \(x\) и степени \(\frac{1}{x}\), кроме одного слагаемого,

\((-x + \frac{1}{x})^{672} = -x^{671}(\frac{1}{x})^{671} + C_{672}^{672}(-x)^0(\frac{1}{x})^{672}\)

\((-x + \frac{1}{x})^{672} = -x^{671}\frac{1}{x^{671}} + 1\)

\((-x + \frac{1}{x})^{672} = -1 + 1\)

\((-x + \frac{1}{x})^{672} = 0\)

Таким образом, мы получаем, что \(x^{2018} + \frac{1}{x^{2018}} = 0\).

Надеюсь, это решение понятно и подробно объясняет как получить ответ.