Если мы знаем, что x^2+x+1=0, то что значит x^2018+1/x^2018?

  • 1
Если мы знаем, что x^2+x+1=0, то что значит x^2018+1/x^2018?
Paryaschaya_Feya
47
Для решения данной задачи, давайте воспользуемся методом математической индукции и найдем общий вид выражения xn+1xn, где n - натуральное число.

Найдем первые несколько значений этого выражения и составим ряд значений для n=1,2,3,...:

x1+1x1=x+1x

x2+1x2=(x+1x)(x+1x)2=(x2+2+1x2)2=x2+1x2+22=x2+1x2

x3+1x3=(x+1x)(x2+1x2)(x+1x)=(x3+1x3+x+1x)(x+1x)=x3+1x3

...

Мы видим, что при каждом последующем n значение выражения xn+1xn равно xn+1xn.

Теперь, вернемся к исходному уравнению x2+x+1=0. Приведем его в более удобный вид.

x2+x=1

Умножим обе части уравнения на x:

x3+x2=x

Теперь добавим 1x к обеим частям:

x3+x2+1x=x+1x

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой значение x3+1x3, которое мы нашли при решении предыдущей задачи.

Поэтому, x3+1x3=x+1x.

Подставим это в выражение x2018+1x2018:

x2018+1x2018=(x3+1x3)672=(x+1x)672

Теперь мы получили искомое выражение, которое сводится к вычислению 672 степени выражения x+1x.

Обоснование этого сводится к нахождению закономерности значений xn+1xn и замечанию, что в каждом случае xn+1xn равняется xn+1xn.

Для более подробного решения степени x+1x, можно применить бином Ньютона, который представляет себя следующим образом:

(x+1x)672=C6720(x)672(1x)0+C6721(x)671(1x)1+C6722(x)670(1x)2+...+C672671(x)1(1x)671+C672672(x)0(1x)672

Распишем эту формулу, заметим, что каждый член кроме последнего равен нулю: достигается сокращение слагаемых, содержащих степени x и степени 1x, кроме одного слагаемого,

(x+1x)672=x671(1x)671+C672672(x)0(1x)672

(x+1x)672=x6711x671+1

(x+1x)672=1+1

(x+1x)672=0

Таким образом, мы получаем, что x2018+1x2018=0.

Надеюсь, это решение понятно и подробно объясняет как получить ответ.