Если случайные величины X и Y независимы, какова дисперсия случайной величины Z=2X+3Y, если D(X)=4 и D(Y)=5?

Kosmicheskiy_Puteshestvennik

38

Чтобы вычислить дисперсию случайной величины Z=2X+3Y, необходимо знать дисперсии X и Y, а также их коэффициенты, с которыми они участвуют в выражении для Z.

Известно, что D(X)=4 и D(Y)=5. Дисперсию можно вычислить по следующей формуле:

\[D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)\]

Где a и b - это коэффициенты перед X и Y соответственно, а Cov(X,Y) - ковариация между X и Y. В данном случае, a=2, b=3.

Так как X и Y являются независимыми случайными величинами, их ковариация равна 0. Это означает, что Cov(X,Y)=0.

Подставим известные значения в формулу:

\[D(Z) = (2^2)D(X) + (3^2)D(Y) + 2(2)(3)Cov(X,Y)\]

\[D(Z) = 4(4) + 9(5) + 0\]

\[D(Z) = 16 + 45\]

\[D(Z) = 61\]

Таким образом, дисперсия случайной величины Z равна 61.