Есть билет, в котором две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи составляет 0.9, а второй

Vechnaya_Zima

25

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать биномиальное распределение. Биномиальное распределение применяется для случаев, когда проводится определенное количество независимых испытаний, каждое из которых имеет два возможных исхода - успех или неудача.

В данном случае, каждая задача представляет собой отдельное испытание, где есть два возможных исхода - либо задача решена правильно, либо нет. Так как вероятность решения первой задачи составляет 0.9, то вероятность неудачи будет равна 1 - 0.9 = 0.1. Аналогично, для второй задачи вероятность решения будет 0.8, а вероятность неудачи - 1 - 0.8 = 0.2.

Теперь мы можем использовать биномиальное распределение для определения вероятности того, что будет решено определенное количество задач. Формула для этого выглядит следующим образом:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:
- P(X=k) - вероятность того, что будет решено k задач,
- C_n^k - число сочетаний из n по k (можно вычислить с помощью формулы C_n^k = n! / (k! \cdot (n-k)!),
- p - вероятность успеха (в данном случае, вероятность решения задачи),
- n - общее число испытаний (в данном случае, общее число задач на билете).

Давайте рассмотрим каждую задачу отдельно:

1. Задача:
Вероятность правильного решения первой задачи составляет 0.9. Поскольку на билете всего две задачи, общее число испытаний (n) будет равно 2. Для определения вероятности того, что будет решена ровно одна задача (k=1), мы можем использовать формулу биномиального распределения:

\[ P(X=1) = C_2^1 \cdot 0.9^1 \cdot (1-0.9)^{2-1} \]

Вычислим это:

\[ P(X=1) = 2 \cdot 0.9 \cdot 0.1 = 0.18 \]

Таким образом, вероятность того, что будет решена ровно одна задача на билете, составляет 0.18.

2. Задача:
Вероятность правильного решения второй задачи составляет 0.8. Используя аналогичный подход, мы можем определить вероятность решения двух задач на билете (k=2):

\[ P(X=2) = C_2^2 \cdot 0.8^2 \cdot (1-0.8)^{2-2} \]

Вычислим это:

\[ P(X=2) = 1 \cdot 0.8^2 \cdot 0.2^0 = 0.64 \]

Таким образом, вероятность того, что будут решены обе задачи на билете, составляет 0.64.

Математическое ожидание (ожидаемое значение) и дисперсия случайной величины, которая описывает распределение числа задач, решенных правильно на билете, также могут быть вычислены на основе биномиального распределения.

Математическое ожидание (μ) для биномиального распределения можно найти используя формулу:

\[ \mu = n \cdot p \]

где n - общее число испытаний (в данном случае, общее число задач на билете), p - вероятность успеха (вероятность решения одной задачи).

В нашем случае:

\[ \mu = 2 \cdot 0.9 = 1.8 \]

Таким образом, математическое ожидание составляет 1.8.

Дисперсия (σ^2) для биномиального распределения можно найти с использованием формулы:

\[ \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) \]

где n - общее число испытаний (в данном случае, общее число задач на билете), p - вероятность успеха (вероятность решения одной задачи).

В нашем случае:

\[ \sigma^2 = 2 \cdot 0.9 \cdot (1-0.9) = 0.18 \]

Таким образом, дисперсия составляет 0.18.

Итак, распределение числа задач, которые будут решены правильно на этом билете, имеет следующие вероятности:

- Вероятность решения ровно одной задачи (X=1) составляет 0.18.
- Вероятность решения обоих задач (X=2) составляет 0.64.

Математическое ожидание (среднее значение) составляет 1.8, а дисперсия - 0.18.