Где точно прямая MN пересекает плоскость ABC?

Skvoz_Pesok

22

Для того чтобы определить точное местоположение точки пересечения прямой MN и плоскости ABC, нам нужно знать уравнения прямой и плоскости.

Пусть уравнение прямой MN задано параметрически как \(\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}\), где \(\vec{r}\) - радиус-вектор точки на прямой, \(\vec{a}\) - радиус-вектор начальной точки прямой, \(\vec{b}\) - направляющий вектор прямой, а \(\lambda\) - параметр.

Уравнение плоскости ABC имеет вид \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) - коэффициенты плоскости.

Чтобы найти точку пересечения, нам нужно приравнять координаты точки на прямой к уравнению плоскости и решить полученную систему уравнений.

Подставим параметрическое уравнение прямой в уравнение плоскости:

\[A(a_1 + \lambda b_1) + B(a_2 + \lambda b_2) + C(a_3 + \lambda b_3) + D = 0\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[Aa_1 + A\lambda b_1 + Ba_2 + B\lambda b_2 + Ca_3 + C\lambda b_3 + D = 0\]

Сгруппируем линейные и константные члены:

\[(Aa_1 + Ba_2 + Ca_3 + D) + \lambda(Ab_1 + Bb_2 + Cb_3) = 0\]

Теперь у нас есть линейное уравнение относительно параметра \(\lambda\):

\[K + \lambda M = 0\]

где \(K = Aa_1 + Ba_2 + Ca_3 + D\) и \(M = Ab_1 + Bb_2 + Cb_3\).

Если прямая пересекает плоскость, то уравнение \(K + \lambda M = 0\) имеет решение. Решив это уравнение, мы найдем значение параметра \(\lambda\).

Подставив найденное значение \(\lambda\) обратно в параметрическое уравнение прямой \(\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}\), мы найдем координаты точки пересечения прямой MN и плоскости ABC.

Таким образом, решая систему уравнений, мы можем точно определить местоположение точки пересечения прямой MN и плоскости ABC.