Конечно! Давайте рассмотрим задачу из вашей ссылки и сделаем пошаговое решение для ее понимания.
Задача: В геометрической прогрессии первый член равен 3, а последний член равен 243. Найти сумму всех членов этой прогрессии.
Решение:
Шаг 1: Найдем знаменатель прогрессии.
Заметим, что последний член прогрессии равен 243, а первый член равен 3. Из этого можно составить уравнение:
\[3 \cdot q^{n-1} = 243,\]
где \(q\) - знаменатель прогрессии, а \(n\) - количество членов прогрессии.
Шаг 2: Решим уравнение для определения знаменателя.
Для того чтобы решить это уравнение, приведем его к более простому виду:
\[q^{n-1} = \frac{243}{3} = 81.\]
Поскольку мы имеем дело с экспонентой, найдем логарифмы обеих сторон уравнения:
\[\log(q^{n-1}) = \log(81).\]
Пользуясь свойствами логарифмов, заменим показатель степени на произведение:
\[(n-1) \cdot \log(q) = \log(81).\]
Теперь разделим обе стороны уравнения на \(\log(q)\) для получения \(n-1\):
\[n-1 = \frac{\log(81)}{\log(q)}.\]
Шаг 3: Найдем значение \(n\).
Разделим обе стороны уравнения на \(\log(q)\):
\[n = 1 + \frac{\log(81)}{\log(q)}.\]
Шаг 4: Выразим сумму всех членов прогрессии.
Сумма всех членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:
\[S = a \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1},\]
где \(a\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии.
Шаг 5: Подставим значения в формулу для нахождения суммы.
Для данной задачи, мы знаем, что первый член \(a = 3\), знаменатель \(q\) мы найдем в шаге 3, а количество членов \(n\) мы найдем также в шаге 3:
\[S = 3 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}.\]
Шаг 6: Подставим значения знаменателя \(q\) из шага 3 и количество членов \(n\) из шага 3 и рассчитаем сумму.
\[S = 3 \cdot \frac{q^{1 + \frac{\log(81)}{\log(q)}} - 1}{q - 1}.\]
Таким образом, сумма всех членов геометрической прогрессии будет равна \(S = 3 \cdot \frac{q^{1 + \frac{\log(81)}{\log(q)}} - 1}{q - 1}\).
Sergeevich 70
Конечно! Давайте рассмотрим задачу из вашей ссылки и сделаем пошаговое решение для ее понимания.Задача: В геометрической прогрессии первый член равен 3, а последний член равен 243. Найти сумму всех членов этой прогрессии.
Решение:
Шаг 1: Найдем знаменатель прогрессии.
Заметим, что последний член прогрессии равен 243, а первый член равен 3. Из этого можно составить уравнение:
\[3 \cdot q^{n-1} = 243,\]
где \(q\) - знаменатель прогрессии, а \(n\) - количество членов прогрессии.
Шаг 2: Решим уравнение для определения знаменателя.
Для того чтобы решить это уравнение, приведем его к более простому виду:
\[q^{n-1} = \frac{243}{3} = 81.\]
Поскольку мы имеем дело с экспонентой, найдем логарифмы обеих сторон уравнения:
\[\log(q^{n-1}) = \log(81).\]
Пользуясь свойствами логарифмов, заменим показатель степени на произведение:
\[(n-1) \cdot \log(q) = \log(81).\]
Теперь разделим обе стороны уравнения на \(\log(q)\) для получения \(n-1\):
\[n-1 = \frac{\log(81)}{\log(q)}.\]
Шаг 3: Найдем значение \(n\).
Разделим обе стороны уравнения на \(\log(q)\):
\[n = 1 + \frac{\log(81)}{\log(q)}.\]
Шаг 4: Выразим сумму всех членов прогрессии.
Сумма всех членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:
\[S = a \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1},\]
где \(a\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии.
Шаг 5: Подставим значения в формулу для нахождения суммы.
Для данной задачи, мы знаем, что первый член \(a = 3\), знаменатель \(q\) мы найдем в шаге 3, а количество членов \(n\) мы найдем также в шаге 3:
\[S = 3 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}.\]
Шаг 6: Подставим значения знаменателя \(q\) из шага 3 и количество членов \(n\) из шага 3 и рассчитаем сумму.
\[S = 3 \cdot \frac{q^{1 + \frac{\log(81)}{\log(q)}} - 1}{q - 1}.\]
Таким образом, сумма всех членов геометрической прогрессии будет равна \(S = 3 \cdot \frac{q^{1 + \frac{\log(81)}{\log(q)}} - 1}{q - 1}\).