If side CD of rectangle ABCD lies in the plane CDO, and side BC forms a 60⁰ angle with this plane, find the sine

Skazochnyy_Fakir

62

Для решения данной задачи, нам необходимо провести несколько шагов.

Шаг 1: Рассмотрим схематическое изображение прямоугольника ABCD и заданных плоскостей. Обозначим точку пересечения стороны CD со плоскостью CDO как точку O.

A-------B
| |
| |
D-------O
| |
C-------|

Шаг 2: Для определения синуса угла, необходимо найти значения сторон треугольника BDO. Обратите внимание, что сторона AC не играет роли в данной задаче, и её значение не указано в условии. Поэтому мы можем предположить, что она равна некоторому конкретному числу, чтобы определить значение синуса.

Шаг 3: Предположим, что значение стороны AC равно 1. Так как угол BCO равен 60°, мы можем использовать правило синусов в треугольнике BCO, где угол BOC является внутренним углом треугольника:

\[BC/OB = \sin(BOC)/\sin(BCO)\]

Подставив известные значения, получим:

\[BC = OB \cdot \dfrac{\sin(BCO)}{\sin(BOC)}\]
\[BC = OB \cdot \dfrac{\sin(60°)}{\sin(120°)}\]

Шаг 4: Теперь, используя теорему Пифагора, мы можем определить значение стороны BD:

\[BD = \sqrt{BC^2 + CD^2}\]

Подставив значения, получим:

\[BD = \sqrt{(OB \cdot \dfrac{\sin(60°)}{\sin(120°)})^2 + CD^2}\]

Шаг 5: И, наконец, определим синус угла, образованного диагональю BD с плоскостью CDO. Для этого воспользуемся правилом синусов в треугольнике BDO:

\[\sin(BDO) = \dfrac{BD}{OB}\]

Подставив значения, получим:

\[\sin(BDO) = \dfrac{\sqrt{(OB \cdot \dfrac{\sin(60°)}{\sin(120°)}}{OB}\]

\[\sin(BDO) = \sqrt{\dfrac{\sin^2(60°)}{\sin^2(120°)}}\]

Шаг 6: Наконец, вычислим окончательное значение синуса угла BDO:

\[\sin(BDO) = \sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{4}}} = \sqrt{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\]

Таким образом, синус угла, образованного диагональю BD с плоскостью CDO, равен \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).