Из 5 изделий два из них имеют скрытый дефект. Изделия выбираются случайным образом одно за другим и проверяются

Mihail

43

Данная задача связана с вероятностью и будет решена с помощью комбинаторики. Давайте рассмотрим две ситуации: вероятность проверить ровно 5 изделий и вероятность проверить не менее 5 изделий.

1. Вероятность проверки ровно 5 изделий:

Для этого нам нужно определить количество вариантов выбора 5 изделий из общего количества, которое равно 5, и общего количества вариантов проверки изделий, которое равно 2.

Количество вариантов выбора 5 изделий из 5 можно выразить через биномиальный коэффициент:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где \(n\) - количество элементов (5 изделий), а \(k\) - количество выбираемых изделий (5).

\[C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5! \cdot 0!} = \frac{5!}{5!} = 1\]

Количество вариантов выбрать 2 дефектных изделия из 2:

\[C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2! \cdot 0!} = \frac{2!}{2!} = 1\]

Итак, вероятность проверить ровно 5 изделий равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[P(\text{ровно 5 изделий}) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{1 \cdot 1}{1} = 1\]

Таким образом, вероятность проверить ровно 5 изделий равна 1.

2. Вероятность проверки не менее 5 изделий:

В этом случае мы должны учитывать, что дефектные изделия могут быть найдены на любом месте, начиная с первоначального выбора.

Количество вариантов выбора 5 изделий из 5:

\[C_5^5 = 1\]

Количество вариантов выбрать 2 дефектных изделия из 2:

\[C_2^2 = 1\]

Количество комбинаций, в которых 2 дефектных изделия будут обнаружены на первых двух проверках, равно 1.

Количество комбинаций, в которых 2 дефектных изделия будут обнаружены на первых трех проверках, равно 3. Это можно выразить как:

\[\text{общее количество комбинаций} - \text{количество комбинаций с 2 дефектными изделиями, найденными на первых двух проверках} =\]
\[= C_5^5 - C_2^2 = 1 - 1 = 0\]

Аналогично, мы можем вычислить количество комбинаций для 4 изделий:

Количество комбинаций, в которых 2 дефектных изделия будут обнаружены на первых четырех проверках, равно 6. Это можно выразить как:

\[\text{общее количество комбинаций} - \text{количество комбинаций с 2 дефектными изделиями, найденными на первых трех проверках} =\]
\[= C_5^5 - C_2^2 - C_4^5 = 1 - 1 - 0 = 0\]

Наконец, количество комбинаций для 5 изделий:

Количество комбинаций, в которых 2 дефектных изделия будут обнаружены на всех пяти проверках, равно 10. Это можно выразить как:

\[\text{общее количество комбинаций} - \text{количество комбинаций с 2 дефектными изделиями, найденными на первых четырех проверках} -\]
\[- \text{количество комбинаций с 2 дефектными изделиями, найденными на первых трех проверках} -\]
\[- \text{количество комбинаций с 2 дефектными изделиями, найденными на первых двух проверках} =\]
\[= C_5^5 - C_2^2 - C_4^5 - C_3^5 = 1-1-0-0=0\]

Таким образом, вероятность проверить не менее 5 изделий равна:

\[P(\text{не менее 5 изделий}) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{10}{1} = 10\]

Таким образом, вероятность проверить не менее 5 изделий равна 10.