известно, что длина стороны АВ равна 4 см и угол между сторонами АВ и АС равен 45 градусов

Zhuchka

52

Для начала, давайте нарисуем данную задачу, чтобы было проще визуализировать.

A_______B
| /
| /
| /
| /
| /
| /
|/
C

У нас есть треугольник ABC, где сторона AB равна 4 см, а угол между сторонами AB и AC равен 45 градусов.

Для решения задачи нам понадобится некоторые геометрические знания и тригонометрия.

Сначала отметим точку D на стороне AB так, чтобы AD была равна AC. Нам известно, что сторона AB равна 4 см, поэтому AD также будет равно 4 см.

А_______B
| |
| |
| |
| D /
| /
| /
| /
| /
|/
C

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Известно, что AD равно AC, а угол между сторонами AD и CD равен 45 градусов.

Мы знаем, что угол между сторонами AD и AC равен 45 градусов. Это означает, что угол между сторонами AC и CD также равен 45 градусов. Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, угол между сторонами AC и AD должен быть равен 90 градусам.

Теперь мы видим, что треугольник ACD - прямоугольный треугольник со сторонами AD и AC, а также с углом 45 градусов.

Так как сторона AD равна стороне AC, то скажем, что AD = AC = x. Тогда AB = 4 см.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, можно выразить BC через x:

\[BC = \sqrt{(AB^2 - AC^2)}\]
\[BC = \sqrt{(4^2 - x^2)}\]

Теперь вспомним, что мы знаем о геометрии. У нас есть угол 45 градусов, и у нас есть треугольник с противолежащей стороной BC и прилежащей стороной AC. Это намекает, что мы можем использовать тангенс этого угла для решения задачи.

Тангенс угла определяется как соотношение противолежащей стороны к прилежащей стороне. В данном случае тангенс угла 45 градусов будет равен отношению BC к AC:

\[tan(45^\circ) = \frac{BC}{AC}\]

Мы можем выразить BC через x и AC через x:

\[tan(45^\circ) = \frac{\sqrt{(4^2 - x^2)}}{x}\]

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно x.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[(tan(45^\circ))^2 = \left(\frac{\sqrt{(4^2 - x^2)}}{x}\right)^2\]

Раскроем квадраты:

\[1 = \frac{4^2 - x^2}{x^2}\]

Перенесем x^2 на одну сторону:

\[x^2 = 4^2 - x^2\]

Сложим x^2 соответствующих сторон:

\[2x^2 = 4^2\]

Решим уравнение относительно x:

\[x^2 = \frac{(4^2)}{2}\]
\[x^2 = \frac{16}{2}\]
\[x^2 = 8\]

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

\[x = \sqrt{8}\]
\[x = 2\sqrt{2}\]

Таким образом, мы получаем, что x равно \(2\sqrt{2}\). Это означает, что стороны AD и AC равны \(2\sqrt{2}\) см.

Стоит отметить, что сторона BC теперь может быть вычислена, подставив значение x в предыдущее уравнение:

\[BC = \sqrt{(4^2 - (2\sqrt{2})^2)}\]
\[BC = \sqrt{(16 - 8)}\]
\[BC = \sqrt{8}\]
\[BC = 2\sqrt{2}\]

Таким образом, стороны BC, AD и AC равны \(2\sqrt{2}\) см, а сторона AB равна 4 см.