Как изменится период обращения спутника, если он останется на том же расстоянии от планеты, но масса планеты увеличится

Тимофей_8973

14

Для того чтобы найти изменение периода обращения спутника, нужно воспользоваться третьим законом Кеплера, который гласит, что квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большей полуоси ее орбиты.

Итак, пусть \( T_1 \) - период обращения спутника до изменения массы планеты, \( T_2 \) - период обращения после изменения массы планеты, \( a \) - большая полуось орбиты спутника.

Мы знаем, что масса планеты увеличилась в четыре раза, что означает, что новая масса планеты равна \( 4m \), где \( m \) - начальная масса планеты. Расстояние между спутником и планетой осталось неизменным, поэтому значение \( a \) остается тем же.

Согласно третьему закону Кеплера, у нас есть следующая пропорция:

\[
\frac{{T_1^2}}{{T_2^2}} = \frac{{a_1^3}}{{a_2^3}}
\]

Так как \( a \) останется неизменным, то \( a_1 = a_2 \), и пропорция упрощается:

\[
\frac{{T_1^2}}{{T_2^2}} = \frac{{a^3}}{{a^3}}
\]

Упрощая еще раз, получаем:

\[
\frac{{T_1^2}}{{T_2^2}} = 1
\]

Чтобы найти отношение периодов, найдем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[
\sqrt{\frac{{T_1^2}}{{T_2^2}}} = \sqrt{1}
\]

\[
\frac{{T_1}}{{T_2}} = 1
\]

Таким образом, период обращения спутника не изменится, если его расстояние от планеты остается неизменным, но масса планеты увеличивается в четыре раза.